Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
•stf = -]T$m0rfa — ? ? 4яе0е6 J J G1aib daA db*B. (4.1)
а a<b
Здесь при переходе от (3.1) к (4.1) первый член в требует тривиальной модификации: da вычисляется теперь с римановой метрикой. Модификация второго члена в St требует значительных усилий. Член б (s^B) lHift теперь заменяется на GiAig — би-векторный пропагатор между Л и В. Он является симметричной функцией Грина для волнового уравнения
? Ощв + KQiib = I-S (X, В)]'* Snl^i (.X, В). (4.2)
Здесь GniB ведет себя как вектор в X и В с индексами п и Ib соответственно (индекс X при п опускается для удобства записи). Величина iniсть параллельный пропагатор между X и В (подробности см. в [37]), а g(X,B)—его детерминант.
Vg 17 Зак. 203
514
Дж. В. Нарликар
В пределе gik Т]« имеем O1a4b -*b(s2AB) r\lk. Детальную структуру этого пропагатора иссследовали де Витт и Бреме [5].
Электромагнитная часть Ж конформно-инвариантна, но для механической части (первый член) это не имеет места. Сравним теперь (4.1) с действием для теории поля Максвелла и для общей теории относительности. Это действие, обозначаемое через определяется выражением
^>== -ШО S R(~S)'hd*x -Yi^rnada-
а
- it S p^ptm (- d*x - Yj Ca [At da1. (4.3)
а
Третий и четвертый члены в Stw представляют соответственно свободное поле и взаимодействие поле — частица.
В теории прямого взаимодействия частиц второй член в S& заменяет эти два члена в полевой теории. Эти поля, по существу, теряют свой независимый характер и заменяются пропагато-рами, соединяющими мировые линии частиц. Как можно поступить с первыми двумя членами в (4.3)? Второй член уже присутствует в (4.1), и кажется естественным просто ввести первый член в (4.1) как представляющий тяготение.
Эта процедура, однако, противоречит картине прямого взаимодействия частиц. Первый член в (4.3), хотя и содержит геометрическую информацию, имеет также полевой характер. Следовательно, он непригоден. Мы уже говорили о немаховском характере второго члена в (4.3). По этим причинам предложенный выше подход неприемлем.
Ключ к правильной процедуре, которую следует принять, обеспечивается сравнением последнего члена в (4.3) со вторым членом в (4.1). Если в первом из них заменить потенциал At
суммой по потенциалам прямого взаимодействия частиц, опре-
деляемым соотношением, аналогичным (3.3) для искривленного пространства, то мы получим нечто аналогичное последнему. Таким же путем мы теперь заменяем массы та на поля прямого взаимодействия частиц, определяемые следующим образом:
m{b) (X) = ^ XbG (Xi В) dbt Xb — константа связи, (4.4)
Ina(A)-Xa т(6!(Л), Xa- константа связи. (4.5)
Ь Ф а
Пропагатор G(XtB) должен быть бискалярным, поскольку массы являются скалярами, и мы хотим сохранить симметрию
10. Инерция и космология в теории относительности
515
между X и В. Действие (4.1) заменяется теперь выражением XaKbG (А, В) da db —
а<Ь
-ЕЕ и eaebGtAiBdalAdbiB. (4.6)
а<Ь
Какой вид должна иметь функция G(A,B)7 Исходя из соотношений для электромагнитного поля, следует ожидать, что это будет симметричная функция Грина скалярного волнового уравнения. Ho мы хотим также, чтобы зФ было конформно-инва-риантным. Эти два требования фиксируют вид скалярного про-пагатора единственным образом с точностью до множителя. Выберем G(X1B) так, чтобы удовлетворить скалярному волновому уравнению
? G(X, В) +1R(X) G(X, B)=[—g(X, В)Г,,г6<(X,tB). (4.7)
Волновой оператор однозначно определяется требованием конформной инвариантности.
Переходя от этих чисто формальных аспектов к вопросам интерпретации, заметим, что (4.4) и (4.5) являются, по существу, математическим выражением идей Маха относительно инерции. Масса тпа частицы а в ее мировой точке А есть сумма вкладов всех других частиц во Вселенной. Таким образом, требование «а» выполнено. Требование «в» также выполнено, поскольку для одиночной частицы в пустой Вселенной нет действия! Минимальное число частиц, необходимых для определения равно двум. Таким образом, для каждой из этих двух частиц другая играет роль «фона» в смысле Маха. Требование конформной инвариантности также удовлетворяется в результате нашего выбора пропагатора. Поэтому остается исследовать только требование «г».
До сих пор мы рассматривали инерцию и игнорировали тяготение. Действие (4.6) не содержит явно гравитационного члена
-J5I5- S R (—«)¦'• Л.
Тем не менее, как мы увидим в следующем разделе, эта теория вполне способна описывать гравитационные явления.
5. Конформное тяготение
Возвращаясь к действию (4.3), мы замечаем, что при попытке вывести уравнения поля Эйнштейна с помощью принципа действия Гильберта из первого члена мы получаем тензор
‘/а 17*
516
Дж. В. Нарликар
О + 5G
JB
Эйнштейна. При прямом взаимодействии частиц (4.6) такой член полностью отсутствует. Можно ли получить какой-либо гравитационный член из (4.6), если попытаться осуществить вариацию метрики gin-+ gik +Sgik? Взгляд на электромагнитную часть соотношения (4.3) не внушает уверенности, что ответ на этот вопрос будет утвердительным. В тензор энергии-импульса электродинамики вклад вносит скорее третий, чем четвертый член, и именно четвертый член использовался при переходе к (4.6). Тем не менее более тщательное исследование показывает, что члены в (4.3) действительно дают нетривиальные ответы, если осуществляется вариация метрики.
