Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
сохранения энергии
(68.3)
откуда следует
или для р = 0
[(p + P)mv].v = P:vkv, (PHv)jv = 0,
(68.4)
и наконец, уравнение для линий тока жидкости
(р + р) u' = - (gaX + «V) р. х + FaxJx. (68.5)
Эти уравнения были численно решены для аксиально-симметричных конфигураций Вильсоном в работах [169, 207] и [146] (с. 393), где приведены также некоторые результаты и детали, касающиеся техники интегрирования.
8. Аналитическое решение для намагниченной плазмы, аккрецирующей на черную дыру
Ниже мы рассмотрим некоторые специальные модели аккреции плазмы на черную дыру, погруженную в фоновое электромагнитное поле, при четырех упрощающих предположениях:
а) пренебрегаем давлением плазмы;
б) предполагаем проводимость плазмы бесконечной, сг = оо;
в) требуем аксиальной симметрии конфигураций;
г) ищем стационарные во времени решения.
Снова главной задачей будет получение простой модели, разрешимой аналитически, чтобы прояснить содержание более сложных и общих конфигураций.
В дальнейшем будем предполагать, что движение плазмы описывается геодезическими фоновой геометрии Керра. Предположим кроме того, что 4-скорость плазмы на бесконечности такова, что Ut =* —1 и и(р = 0. Это означает также, что ив — постоянная движения. Такое поле скоростей частиц известно и задается следующими формулами [40]:
— 2 (г2 + a2) + IMra1 sin2 0 ’
O0 — ы9/ы‘ = Аие/[2(г2 + а2) + 2Mra2 sin20], t)4> = U9Iui = ^tZgtt.
Л [— Д Uq + 2 Mr (г2 + а2)],/2
V /*.2 І «2\ I О Л/f*-л2 «:„2 Q ’
(69.1)
(69.2)
(69.3)
8. О гравитационно сколлапсировавигих объектах
451
Из условий стационарности и аксиальной симметрии находим для компонент электромагнитного поля [172]
¦в 1 о (70.1)
Frq> ~ г, (70.2)
^9ф = 0» (70.3)
Fn = Aun (70.4)
о |[ CD (70.5)
>» Ф Ill ¦в (70.6)
и определяем
Условие бесконечной проводимости (65) ведет к следующим соотношениям:
Ftr — VeH ф + иф д Ayldr, (71.1)
Fte = - VrH9 + U-P дA9IdQ, (71.2)
откуда следует, что знание A9 и H9 полностью определяет структуру электромагнитного поля.
Решение задачи сводится теперь к определению двух функций A9 и H9. Уравнение (59), условие *FW;ц = 0 и условие стационарности дают
д д difi дА- difl дАт
SF W + Ж (V) + -Ж-^—зГ-Ж = 0- <72- D
Из ф-компоненты уравнения для бесконечной проводимости и условия стационарности имеем
+ (72.2)
<?е
Аналогично из ^-компоненты уравнения (59) получаем
Vr^- + Ve^t = O. (73)
Уравнения (72.2) и (73) означают, что At и A9 постоянны вдоль
траектории. Можно выбрать At = 0, что будет означать полную
зарядовую нейтральность системы. Уравнение (72.2) означает просто, что A9 есть произвольная функция от 0, т. е.
A9 = A (G0o), (74.1)
где
O00 = Є — «в S [— А«е + 2Mr (г2 + а2)] ,/а dr. (74.2)
15*
452
Р. Руффини
Рис. 22. Магнитные силовые линии в экваториальной плоскости вращающейся и аккрецирующей черной дыры. Представленное здесь аналитическое решение соответствует векторному потенциалу (76). Искривление силовых линий обусловлено увлечением инерциальных систем. Это искривление силовых линий является основным механизмом, посредством которого проявляется действие момента сил между черной дырой и ее магнитосферой, и как следствие из черной дыры может извлекаться вращательная энергия (см. также рис. 25). Предполагается, что керровское решение для фонового пространства имеет максимальный угловой момент (a = M). Детали см. в [172].
Я
Рис. 23. Магнитные силовые линии в пло* скости ф a=» const, соответствующие вектор-потенциалу (76). Комбинируя этот рисунок и рис. 22, можно получить трехмерное представление. Магнитные силовые линии являются входящими в южной полусфере черной дыры и выходящими в северной с характерным искривлением, обусловленным увлечением инерциальных систем. Детали см. в [172],
8. О гравитационно сколлапсировавших объектах
453
Из уравнений (72) и (73) и уравнения Максвелла '/?= О следует совершенно общее соотношение
H9 = (оф/ог) F0r (75)
Поэтому для полного решения задачи не нужно решать дифференциальное уравнение: мы нашли аналитически вид всего семейства решений, которые определены с точностью до произвольной функции Aql.
сЬ
Рис. 24. Линии токов, полученные из уравнения (60), для магнитосферы, изображенной на рис. 22 и 23. Бесконечный пучок тока в экваториальной плоскости обусловлен очень простой угловой зависимостью, выбранной для вектор-потенциала (76). Выбором более гладкой зависимости вектор-потенциала от 0 эту расходимость можно устранить. Детали см. в [172].
После того как мы определили электромагнитное поле, из уравнения (60) путем прямого дифференцирования можно вычислить 4-ток /“ и с его помощью найти момент сил, действую-щий со стороны магнитосферы на черную дыру, а также рас-* лределение зарядов в магнитосфере.
Выберем функцию Лф в следующем виде:
Ay = A0{I -Icosei). (76)
Тогда для момента сил имеем
T = J (jrFr<( + JeFj (- g)'1' d3x, (77 Л)
или в нашем частном случае
т=arct^ (77) -т]- (77-2)
