Оптоэлектроника - Карих Е.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(11.3)
(11.4)
2kn fd cos в - 2фс - 2qs = 2mn
(11.5)
68
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
щиеся друг в друга при отражениях от верхней и нижней границ пленки, складываются, образуя зигзагообразную кривую (рис. 11.1):
E + = E gknf (x cos в+z sin в) e -i—t (11 6)
E - = E gknf (-x cos в+z sin в) e -i—t (11 7)
Составляющая волнового вектора по оси z представляет собой постоянную распространения света вдоль волноводного слоя:
в = rnf sin в. (11.8)
Значения угла в для волн пленки заключены в следующих пределах:
в,с < в < 2 . (11.9)
Из формул (11.2), (11.8) и (11.9) следует, что постоянная распространения для волн пленки, должна удовлетворять соотношениям:
kns < в < knf. (11.10)
Величину
ne = nf sin в (11.11)
называют эффективным показателем преломления волновода. В соответствии с (11.8), (11.10) и (11.11), значения эффективного показателя преломления заключены в интервале:
П8 < Пе < nf . (11.12)
Согласно формулам Френеля, фазовые сдвиги фс и фs зависят от
угла в , показателей преломления слоев и поляризации излучения. Волны, вектор напряженности электрического поля которых параллелен плоскостям структуры, называют TE-волнами. Волны, у которых плоскостям структуры параллелен вектор напряженности магнитного поля, называют TM-волнами. Таким образом, условие (11.5) должно быть записано для волны каждой поляризации в отдельности:
— n fd ¦ cos в - фр(в, nf, nc)- ф P (в, nf, ns )= mn, (11.13)
p = TE,TM .
Трансцендентное уравнение (11.13) содержит одну неизвестную величину (угол в) и представляет собой дисперсионное уравнение, позволяющее по найденному в определять постоянную распространения в . Зависимость в(—) называют — - в -диаграммой.
Модовая структура излучения. Уравнение (11.13) имеет дискретный набор решений, соответствующий собственным модам ПДВ (рис.
11.2). Прямые knj и kns определяют границы возможных значений в
69
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
для волноводных мод, задаваемые соотношениями (11.10). К дискретному набору волноводных мод снизу примыкает континуум излучатель-ных мод, для которых в < k—s. Сверху имеется область запрещенных значений в > k—j, которые не реализуются по математическим соображениям (формула (11.8)). Кривые внутри плоского угла соответствуют трем первым волноводным модам (m = 0, 1, 2).
в
Рис. 11.2. Качественный вид а - в -диаграммы
для плоского диэлектрического волновода:
а - запрещенная область; б - волноводные моды; в - излу-чательные моды
0
Приведенной толщиной волновода называют величину
а
D = kd^nf - nS
Параметром диэлектрической асимметрии называют отношение
(11.14)
тт2 -2
n
п=
f
n
-2 -2 nf - ns
(11.15)
Важной особенностью асимметричных ПДВ является существование так называемой критической толщины волновода:
arctgV п -1
Dc
(TE-моды)
n 2
Dc = —f-arctg^jп -1 (TM-моды) . —c
(11.16)
(11.17)
Направляемые моды существуют только в том случае, когда D > Dc. При D < Dc могут существовать только вытекающие моды. Для симметричной структуры (—c = —s) критическая толщина равна нулю, т. е. основная мода с т = 0 может существовать при любой толщине волновода. С увеличением D число мод, которые способен передавать волновод, возрастает в соответствии с приближенной формулой:
N » - (D - Dc ). п
(1118)
Минимальная частота, при которой еще может существовать волноводная мода с модовым числом т, называется частотой отсечки.
70
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Сдвиг Гуса - Хэнхена. В 1947 году Гус и Хэнхен экспериментально обнаружили, что луч, претерпевающий полное внутреннее отражение на границе двух диэлектриков, пространственно смещается вдоль линии пересечения этой границы с плоскостью падения света. Строгая теория явления строится на основе уравнений Максвелла, однако возникновение сдвига может быть объяснено и с позиций лучевой оптики.
Плоской волне соответствует нулевой телесный угол и она не может переносить какой-либо энергии. Поэтому под световым лучом будем понимать направление оси волнового пакета, образующего световой пучок. Пусть имеется пакет из двух плоских волн, падающих на границу раздела сред под углом, большим критического (рис. 11.3).
Рис. 11.3. К расчету сдвига Гуса - Хэнхена при полном внутреннем отражении светового луча от границы двух диэлектриков
Комплексная амплитуда поля на границе раздела (x = 0) запишется следующим образом:
z + E 0 e “i (в-Ав) z
2E0 cos(Aez)e
-iftz
(1119)
(11.20)
Здесь в и Ав - постоянные распространения, равные:
в = fcfij- sin в, Ав = fcfij- cos в ¦ Ав.
При углах в > вsc коэффициент отражения представляется в виде:
r = ei2ф , (11.21)
где фз - фазовый сдвиг, зависящий от параметров в, n j, ns, а следовательно, и от постоянной в. Для волн, образующих пакет:
Ф s (в ± Ав ) = Фз (в )±~в ¦ Ав = Vs (в АФ S .
ов
(11.22)
Введем обозначение:
zs =
ов
(11.23)
Тогда комплексную амплитуду поля после отражения будет равна:
= rE = Eq ei 2(Vs +Афз) e -i( в+Ав )z + Eq ei 2(Vs-Аф) e -i (в-Ав)z
