Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1.3] ФРОНТЫ С НЕРАВНОМЕРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ 25
ны корню квадратному из функции распределения интенсивности:
V0 =
Ур (со) = V9 (со) Z=VV1 (со) = V (со). (2)
Доказательство этого предложения проведем методом Карновского и Бондаревой [17]. На поверхности сравнения амплитуда колебательной скорости
V0 (со) при со < (i)m9 О при (О >Com.
Представив ее в виде ряда
о(©,т)« S rf}(co)h(-2nvT),
71=0
в котором
/**>ы=Л Яп(С08б) при х==0, ш==0'
п Un (Яп cos па + Ъп sin па) при х = — 1/2, со = а,
найдем акустическое давление на поверхности сравнения:
P К T)-S VnFf (u))?n h (- 2nvx).
Здесь = ?nh (ол) = #n -f IAn — сопротивление излучения элементарного излучателя п-го порядка, Sn — сдвиг фаз между рп и vny Rn = InCOSOn9 Xn = ?«sinSn — активная и реактивная компоненты сопротивления излучения соответственно. Вычислив интенсивность /((о) =
T
= (1/T)J Re о Re/? dt, где T = 1/v — период колебаний, о
получим
71—0 71—0
^ Ti=O 71
Как показано Харкевичем [18] для сферического излу-
26 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА 1ГЛ. 1
чателя и легко показать для цилиндрического излучателя, при ?/>1 Xn(kf) «О, RnW)^l9 6n(kf)tt0. При этих условиях выполняются равенства ро((о) = Zv0(^)9 /(со) = (Z/2) Vo (а>)9 где Z — импеданс, откуда следуют равенства (2).
1.3.1.2. Скорость изменения функции распределения. Как уже отмечалось, в первых работах, в которых использовались обобщенные формулы Дебая, Розенберг [10] и Тартаковский [16] рассматривали возможные скорости изменения функции распределения амплитуды, чтобы установить максимальную скорость этого изменения, при которой формулы Дебая (1.2.7) и (1.2.8) еще остаются справедливыми. Согласно Розенбергу, х? (со) должна удовлетворять условию
согласно Тартаковскому,— менее жесткому условию:
Ниже покажем, что (со) должна удовлетворять самым общим требованиям, таким, например, как абсолютная интегрируемость, а скорость ее изменения может быть произвольной, т. е.
Формулы (1.2.10) — (1.2.13) можно представить в виде
dV ((o)/d (f<o)<V ((O)IVfK
(3)
d4((o)ld(fa)<Vfl№ ((*)/%.
(4)
0 ^dV(Co)Id(fco) <оо.
(5)
ь
(6)
а
где для цилиндрического фронта
Л(ц) - p0Vkf?n h (- (Гц), а = - ат, 0ц = ?/-л/4, fW(W) = f{a),
^(ц) О». <о0) =h[pcos (а — а0)],
b
а,
¦го»
§ 1.3] ФРОНТЫ С НЕРАВНОМЕРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
27
а для сферического фронта
Л(с) = р0*/Ь(-ос), а= 0, & = 9т, oc = kf-n/2, Y(c) (о)«Т(в), ^(с) (о), (D0) = h (р cos 90 cos 6) /0 (р sin O0 sin 9) sin 9.
Установим, каким требованиям должна удовлетворять функция 1F(O)), чтобы формула (6) описывала распределение звукового давления в фокальной области. Формула (6) будет справедливой, если она удовлетворяет двум требованиям: 1) подынтегральная функция 1V* (<d) Я (о), O)0) интегрируема в интервале [а, Ь] при любом значении параметра <оо из интервала [а, Ь]\ 2) функция р из (6) удовлетворяет волновому уравнению. Рассмотрим два случая.
Случай I. 4^(©) = const. Тогда первое требование . выполняется, поскольку F{i) (cd, (Do) непрерывна. В справедливости второго требования можно убедиться непосредственной подстановкой р из (6) в волновое уравнение. При этом допустимо двукратное дифференцирование под знаком интеграла, поскольку F{i)((o, шо) и dF{i) (о), O)0) Id(O0 непрерывны в квадрате a ^ (о ^ Ъ% a ^ (U0 Ь.
Случай IL Vw (со) Ф const. Потребуем, чтобы 4м(<d) была абсолютно интегрируемой; это означает, что существует интеграл
Тогда условие (5) является достаточным для существования интеграла (6). Следовательно, требование 1) удовлетворяется; оно также достаточно для возможности дифференцирования под знаком интеграла. Учитывая результаты случая I, приходим к выводу, что требование 2) удовлетворяется. Следовательно, обобщенная формула Дебая (6) справедлива.
Из условия (7) вытекают два практически важных следствия. 1) Требование непрерывности функции распределения на интервале интегрирования является достаточным для существования формулы Дебая (6).
ь
(7)
а
28 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА [ГЛ. 1
2) Поскольку абсолютную интегрируемость в (7) можно понимать в несобственном смысле, то обобщенная формула Дебая справедлива, если функция распределения в конечном числе точек интервала интегрирования обращается в бесконечность. Из последнего следствия вытекает справедливость указанного нами выше условия (5), которое существенно отличается от условий (3) и (4) предшествующих /исследователей.
Если на интервале интегрирования имеется п особых точек (O = Ci функции 4F(o)), то условие (7) приобретает вид
1.3.2. Вычисление функций распределения амплитуды. В том случае, когда на вход фокусирующей системы .падает волна с равно»мерньш распределением энергии по фронту, в волне на выходе фокусирующей системы энергия по фронту, как правило, распределена неравномерно, потому что трансформация волнового фронта неизбежно связана с перераспределением энергии по его поверхности. В фокусирующей системе без потерь функция распределения может быть найдена в геометрическом приближении из изменения сечения энергетических трубок на преобразующей — отражающей или преломляющей — поверхности, являющейся границей раздела сред, на которой происходит скачкообразное изменение параметров, характеризующих волновой фронт. В реальных фокусирующих системах функция распределения зависит еще и от других факторов: от изменения величины коэффициента прохождения или, соответственно, отражения* волны от границы раздела двух сред; от различной длины акустического пути, пройденного волной в поглощающей среде между двумя преобразующимися поверхностями, и от других факторов. Несмотря на то, что эти факторы не связаны непосредственно с трансформацией волнового фронта, вноси-
