На пульсаре - Кадомцев Б.Б.
ISBN 5-85504-013-5
Скачать (прямая ссылка):
плоскость, несколько смещая ее ниже уровня у = 0, а затем совершает
обратное движение, приобретая у-компоненту скорости в обратном
направлении. Таким образом, условие упругого отражения состоит в том, что
рх сохраняется, а у-компонента скорости vy меняет знак. С помощью
приведенных выше соотношений для энергии и импульса нетрудно выразить
энергию частицы
через pxvLvv\ , /0
е = (рх + m\\mj_vy)/2m*,
где ш* = т_l cos2 а+шц sin2 а. Как мы видим, энергия частицы является
четной функцией vy, так что при рх = const и замене vy на - vy
28
4. Миша и Саша
энергия действительно сохраняется. Итак, мы нашли формальные условия
упругого отражения частицы от плоскости.
Рассмотрим теперь некоторые частные случаи. Наиболее прост случай рх = 0,
когда частица не имеет касательной составляющей импульса. Импульс при
этом направлен вдоль оси у, и именно вдоль этого направления двигалась бы
частица с изотропной массой. А если анизотропия велика, тд шц, то при
сравнимых величинах рц и р±_ частица будет двигаться вдоль магнитного
поля, поскольку продольная компонента скорости у = рц/шц оказывается
значительно больше поперечной компоненты уд =p^/rrij_. Именно так
двигался свободно отпущенный мячик в эксперименте "на пульсаре": тд тц.
Можно показать, что при рх = 0 имеет место соотношение ру = m\\m±vy/m*.
Поэтому в данном случае упругое отражение со сменой знака у vy
автоматически означает смену знака у ру. Закон сохранения энергии при
этом не нарушается. Таким образом, если, например, ударить мяч ракеткой в
направлении у, то он отскочит с удвоенной скоростью ракетки вдоль оси у,
но при тд тц мячик полетит почти вдоль направления магнитного поля.
Именно в этом случае суммарный импульс может быть действительно направлен
вдоль оси у.
Рассмотрим теперь пример, когда рх ф 0. Удобно опять выбрать такой случай
отражения, который бы очень сильно отличался от привычного нам при
изотропной массе. Пусть, например, перед ударом vx = 0, так что частица
падает вертикально вниз на горизонтальную плоскость х = 0. До удара о
пластину имеем Уд/уц = tga; vy = yjj/cosa; p§ = - mucosa. После удара
величина px сохраняется, a vy меняет знак. Постараемся теперь найти
выражение для величины уд/уц после удара. Для этого нужно выразить уд и
уц через величину рх, vy и затем подставить в полученные выражения
величины рх и vy после удара. После несложных выкладок можно получить
выражение, которое при тд >> тц сводится к простому соотношению уд/уц = -
ctga. После удара о стенку частица почти скользит вдоль плоскости у = 0:
вертикальная компонента скорости частицы оказывается значительно меньше
горизонтальной скорости. Таким образом, упругое отражение частицы от
плоскости при рх Ф 0 и тд тц совершенно не похоже на отражение частицы с
изотропной массой.
Задача №2
Задачу об упругом ударе о плоскость материальной точки с анизотропной
массой привести к задаче об упругом ударе точки
4. Миша и Саша
29
с изотропной массой с помощью перехода к новой системе координат с
разными масштабами по осям.
Идея здесь заключается в следующем. Если гп±_ шц, то частица гораздо
более подвижна в продольном направлении по сравнению с поперечным
направлением. Но если в продольном направлении ввести новый, более
крупный масштаб длины, то можно постараться устранить эту разницу в
поведении. Пусть гц представляет собой координату вдоль В. Введем новую
координату z' = = /3z|| и соответственно, новую продольную скорость v'^ =
/Зг>ц. Если /3 мало, то большим смещением по гц будут соответствовать
малые смещения по z' с пропорционально уменьшенной продольной компонентой
скорости. Постараемся теперь подобрать величину параметра /3 таким
образом, чтобы в новой продольной и прежней поперечной координатах
частица вела бы себя как обладающая изотропной массой.
Е1ачнем с простейшего случая рх = 0, когда при отражении частица
повторяет свою траекторию в обратном порядке. В этом случае рц = шцуц =
рcosa, р± = = psina (рис. 7), откуда
V V
v\\ = j^-cosa, v±- = ж- sin а. Мы хотим, чтобы в новых коорди-
II / / Ь11 lit _1_
натах частица двигалась перпендикулярно к плоскости отражения. Поскольку
при переходе к новой системе координат векторы v = {г>ц; v_i_}, ех = {sin
а; - cos а} и еу = {cos а; sin а} превращаются в векторы v' = {/3v\\;v±},
ех = {/3 sin a; - cos а} и е{ = = {/3 cos a; sin а}, то указанное условие
перпендикулярности принимает вид: /32г>ц sin а - v± cos а = 0. Подставляя
сюда выражения для г>ц и v±, находим
Обратим внимание на то, что при этом значении /3 угол между векторами е'х
и е'у оказывается тупым.
Итак, если сжать всю плоскость вдоль направления В в /3 = = д/гпц/шд раз,
то удар о плоскость х' анизотропной частицы с рх = 0 выглядит просто как
нормальное падение на плоскость х' частицы с изотропной массой.
Е1етрудно видеть, что аналогичное утверждение справедливо и в общем
случае рх Ф 0. В самом деле, если в преобразованной системе координаты
соударяется частица с изотропной массой, то для нее условия отражения
