Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
246. ограниченных требованием (17.74), т. е. преобразованиях, лежащих в основе теории X. и. При тех же значениях индексов, но условиях (17.76) из (17.77) видно, что условия Zi0a = O не нарушаются при координатных преобразованиях вида
pfi^r0), (21.82)
P?'o I P?«
т. е. при подгруппе, лежащей в основе теории к. и. В отличие от работ [35, 561], где использовался термин «координатные представления локальных преобразований Лоренца», будем говорить «координатное выражение». В этом смысле обе подгруппы— (21.3) и (21.82) являются координатными выражениями (координатными аналогами [559]) ^-подгруппы. Из соотношений (13.26) видно, что
La'(o) = Ve^vAv(o) = V (P0'о Zi0(o) +
+ ЛА>) + Zva (Pa'o Zi0(O) + Pa'?Zi?(0)). (21,83)
Следовательно, при преобразованиях (18.36), при которых ра 0 = = 0, и условиях Zi0'а' = 0, Zioa = 0 из формулы (21.83) вытекает, что /5(0) = 0. Тогда и Lioya = 0, так как Lh'nL^ = 6™. Из уравнений (13.26) также находим
Li0ya = ho>(oy (Р\ Zi0a + Р%Zipa) +
+ hj0y (Pa'о Zi0a + Pa'? Zi?a). (21.84)
Следовательно, при преобразованиях (18.36) и условиях Zi0a = O, Zi0V = 0 правая часть (21.84) обращается в нуль. Из условий же (13.25) видно, что, задаваясь ^-подгруппой и калибровками Zi00 = 0 и Zi0a = 0, соответственно приходим к равенствам Pa'0 = = 0 и Р°'а = 0.
Таким образом, на основе /^-подгруппы хронометрически- и кинеметрически-инвариантные выражения ОТО объединяются в один комплекс. В этих представлениях эйнштейновых уравнений тяготения динамические характеристики систем отсчета выступают в роли полевых функций. При этом становится естественным задание координатных условий (как и калибровочных [624]) в виде условий, непосредственно наложенных на компоненты динамических характеристик.
§ 22. СОПОСТАВЛЕНИЕ Я-КОВАРИАНТНОГО И ОРТОМЕТРИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИИ ОТО
22.1. Основные величины и операции. #-ковариантная формулировки ОТО развита в § 20 на основе локально-группового
247. подхода в рамках тетрадной формулировки как ее частная модификация. В ней ^-подгруппа выделяется по физическим соображениям как не меняющая физической ситуации, а исходными являются компоненты величин и производных, определенных относительно ^-подгруппы. Они имеют 3 вида компонент— физические компоненты (с лоренцевыми индексами), мировые и специальные мировые. Соберем вместе некоторые из соотношений, содержащих эти компоненты, необходимые для дальнейшего:
(?::: — v%v • .Qba-, (22.1)
{в частности, ^v е= IillaIiva = ^v + Ац(о) Av«»)>
K-HJdat (22.2)
vAv. .. - W- - - VvАь.. .. (22.3)
VcQab... - дДаЪ... - ydacQdb-. .-ydbcQad..., (22.4) Q = Qloj:::, (22.5)
d(0) = d/dx«»=dt, (22.6)
vA-V V<o)Q» (22.7)
V(O)-S(O)Qb-Tffb(O)Qe- (22.8)
^-Инвариантами, /^-тензорами и более сложными объектами являются величины и операторы пространственные в смысле локального расщепления 4-пространства ОТО по законам СТО (хоро-величины, операторы). ^-Скалярами являются величины (операторы) временные в смысле этого локального расщепления (хроно-величины, операторы). Из определений (22.1) — (22.3),
<22.7) видно, что (?,..., vAv...> VAi — ^-инварианты. То, что это хоро-величины' (ограниченные величины в смысле (21.35а)), в частности, выражается равенством нулю их свертков по любому из индексов с хроно-монадой Действительно, из указанных соотношений ясно, что
h%)Ql::: = в*0)н\... Ql::: = о, Av(0)fc = ло»*, VQ0* =°>
= б«л= о,
248. ^(o)vAv... = o-0)... = 0, ft',o)vAv... = %..=0, (22.9)
A%>vA = Sf0)- • • =
Обратим внимание на то, что свертки с монадой частных ^-инвариантной производной (22.2) и Я-скалярной (22.6) от ^!-инвариантов отличны от нуля. Действительно,
^v(O)VdttQv 0, /Р(0)д(0)&фО. (22.10)
В частности, однако, равенство нулю таких свертков возможно. Так, при калибровочных условиях h0a = 0 и ha(о> = 0, имеющих место соответственно в X. и. и в к. и. формулировках ОТО, соответственно имеем
M(O) 0(0) 4)fte0=o = Vo) 0(0) (V Qa) = 0,
(22.11)
(Vo AQA а=0 = h% A(VQe) - о,
(Vo) д(о)й% (Q)=O = Vo) o(o)Q*° =0,
06
(22.12).
(Vo) 4^v)A(x(0)=0 = Vo )4Q0= о.
(Q0 = ^aQX(O)=O=0'
А. JI. Зельманов [625] предложил еще одну специальную формулировку ОТО — ортометрическую. Цель ее — достичь общей ковариантности, не имеющей места в формулировках x. и. и к. и., сохранив сходство с этими двумя представлениями ОТО. Для этого вместо хронометрических и кинеметрических инвариантов вводятся [625] величины, отнесенные к локальным 3-пространствам СТО (хоро-величины), заданные своими криволинейными компонентами как величины, сверток которых по любому из индексов с хроно-монадой равен нулю, (условие ортометричности). Величины, подчиненные этому условию, названы в работе [625] ортометрическими *>. Диф-
*) Ортометрический в переводе с греческого — непосредственно, правильна измеренный. Условие ортометричности, как видно из (21.35а), послужило Мёллеру для введения в его курсе [25] «ограниченных тензоров». В монографии Брессана (см. первое из примечаний в п. 21.3) на стр. 42 вводится операция натуральной декомпозиции тензора T a относительно любого из индексов а. Она определяется равенством T a =^.1 .а где Г; 1^na= 0^,которое, очевидно, также является условием ортометричности.
