Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
116 чевых соотношений теории Ламе, заменив декартов базис (триаду)*) лоренцевым базисом (тетрадой)**). Дальнейшее развитие этих обобщений привело к расширению аппарата метрической формулировки ОТО, к тетрадному представлению ОТО в лоренцевом базисе. Это представление учитывает полностью в своем аппарате требование локальной справедливости СТО.
СТО допускает общековариантную формулировку в любых координатных системах, вводимых в плоском псевдоевклидовом пространстве Минковского: 1) псевдодекартовых ортогональных (с неизотропными координатными линиями), 2) координатных системах с изотропными (прямыми) координатными линиями, 3) в криволинейных координатных системах.
Эйнштейнова ОТО ограничивает справедливость СТО в присутствии гравитационного поля бесконечно малой областью. Поэтому из СТО в ОТО могут перейти два первых вида координат СТО — псевдодекартовы ортогональные и изотропные, в первом случае вместе с лоренцевой тетрадой единичных векторов, во втором — тетрадой изотропных (нулевых, световых) векторов (естественно возможен и промежуточный случай). Таким образом, метрический тензор СТО в общем случае может быть образован как лоренцевой, так и нулевой тетрадой. Включение общего случая тетрады СТО в аппарат ОТО приводит к созданию общего тетрадного аппарата ОТО. Дальнейший выбор тетрады порождает разветвление — представление ОТО в лоренцевых тетрадах (единичных) и представление в нулевых тетрадах. Они различаются в дальнейшем развитии аппарата и областями применения. При такой общей исходной позиции контакт с триадным методом Ламе обнаруживается после разветвления — с ветвью общего тетрадного представления ОТО, использующей единичную, лоренцеву тетраду. Так, например, в задаче Шварцшильда в стандартных координатах при отождествлении г, 0, <р (см. п. 11.2) с астрономическими координатами обнаруживается, что У§22, У§зз являются классическими коэффициентами Ламе.
Знакомство с тетрадным представлением ОТО можно начать с общего случая. Это сразу знакомит с его аппаратом в целом. Можно сначала, следуя Эйнштейну, ограничиться единичными, лоренцевыми тетрадами. Это быстрее приводит к введению в ОТО измеряемых величин.
В данной, третьей, главе монографии пойдем вторым путем. Начнем знакомство с тетрадным представлением ОТО с предварительного напоминания в § 12 понятий, аппарата, примеров применения триадного метода Ламе, позволившего со-
*> тріаа(трІабоа.) —тройка. **> тетраа(тетрабоа) —четверка.
117 четать функциональную зависимость величин от криволинейных координат с отнесением их трансформационных размерностей к локальным декартовым координатным системам. Опираясь на метод Ламе, в § 13 ограничим изложение представлением ОТО в единичных лоренцевых тетрадах и уже после этого в § 14 выходим за его рамки.
Математический язык тетрадного представления ОТО сложнее языка метрической формулировки. В него входят не только аффинный репер, но и лоренцев базис; не только координатные, но и локальные лоренцевы преобразования и их подгруппы; не только координатные, но и калибровочные условия; не только метрический тензор, но и обобщенные коэффициенты Ламе; не только криволинейные, но и физические компоненты величин, отнесенные к лоренцеву базису. В результате такого усложнения математического аппарата многие идеи и понятия, эскизно введенные Эйнштейном, становятся яснее и конструктивнее, превращаясь в полноценные «рабочие» понятия. В связи с этим уместно привести следующее замечание X. П. Кереса, сделанное им при обсуждении некоторых вопросов физической трактовки ОТО: «Альберту Эйнштейну как физику была присуща редкостная интуиция. Его идеи коснулись самых фундаментальных основ физической картины мира. Но его математический язык был относительно прост. Современная математическая форма ОТО представляет собой в значительной степени заслугу продолжателей и комментаторов, которые и подправили кое-что в теории и ее в той или иной мере изменили. Поэтому кажется нелишним время от времени возобновлять в памяти первоначальные идеи Эйнштейна» [470, с. 8]. Это замечание в равной мере относится ко всем представлениям ОТО, изложенным в III—V главах монографии.
§ 12. ТРИАДНЫЙ МЕТОД ЛАМЕ
12.1. Локальная декартова система. Физические компоненты. Многие уравнения физики записаны в трехмерной векторной форме, например уравнения Максвелла, связывающие векторы E и Н. При решении частных задач целесообразно отнести такие уравнения к определенной координатной системе. Для того чтобы отнести векторные уравнения к декартовой системе, производится разложение векторов по единичным векторам (ортам), направленным вдоль координатных линий. Например*):
*) В уравнениях (12.1) и (12.3) индексы декартовой триады для единообразия с обозначениями в соответствующих выдержках, приведенных в тексте, не помещаются в скобки. Далее, начиная с формулы (12.13), индексы декартовой триады берутся в скобки.
118 E= ІЕХ + jEy + kEz = + Eye2 + Eze3. (12.1)
Для иллюстрации ограничимся гармонически изменяющимся электромагнитным полем (см. например, [471, с. 18; 472, с. 14; 473, с. 24]). Тогда
