Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
o4 InA1= — Є the, (11.61)
д д v а
— InA1 = ^r-In-1 . (11.62)
да да sh0>a — 1 V '
Условием интегрируемости этой системы является уравнение -J^e — (th0 + cth0)0-|^ =0. (11.63)
Оно частично совпадает с уравнением (11.41). Простейшие решения (11.63):
дв/да = 0, (11.64)
98/3^ = 0. (11.65)
Рассмотрим последнее из них. Оно подсказывает простейшую возможность избавления в уравнении (11.62) от множителя
* Для этого следует выбрать лоренцев параметр в виде уа—1
8 — arsh -Л^— > sh9^ Л(д) . (11.66) і а — 1 у а — 1
Тогда вместо уравнения (11.62) имеем
InZi1 = In -Ир + с(0. (11.67)
В силу (11.61) и (11.65) c(t) = const, т. е.
/^fc1-LfL. (11.68)
Из уравнения (11.24), предварительно приведенного к виду (11.60), аналогично при лоренцевом параметре (11.60) находим
A4 = *4-^L= = Ь ^ . (11.69)
4 ch 0 і а — 1 VA2+ а —1
Таким образом, выбор лоренцева параметра, согласно (11.66), привел к тетрадам Ai и A4, не имеющим особенностей на сфере Шварцшильда, т. е. обеспечил сшивание калибровочных условий вне и внутри сферы Шварцшильда.
186. Используя найденные значения тетрад, решим попарно уравнения (10.15)-(10.18) относительно :
д
да
да
-к
r0af(a)
а —1
д^х^ — k^y
(11.70)
(а-1)/(«)'
дгХ4 -— kIk,
1/Л2 + а—1
Интегрируя эти уравнения и полагая A1 = — 1, A4 = 1, находим:
Г =
X4'
(11.71)
=* — Г—р======
J /(а-1)
гл1 sh В
da.
1) (Л2+ а — 1)
Очевидно, по определению
Л(а)1«-и-*1, /»(а)|«>,>1, /»|а<1<1. (11.72)
Координаты (11.71) найдены Рыловым [334]. Лоренцево преобразование, позволяющее найти их тетрадным методом, имеет вид
Lk'п =
Л/(а) (а — 1) 2 О О О 10
О 0 1
Л (а — 1) 2 О О
. (11.73)
Л (а — 1) 2 О О Л/(а) (а —1) 2 )
Сравнивая (11.71) с (11.49), замечаем, что крускаловы координаты содержат коэффициенты локального лоренцева преобразования линейно, а лоренцев параметр полностью фиксирован. В координаты Рылова коэффициенты лоренцева преобразования входят в подынтегральную функцию, а лоренцев параметр выбран с точностью до произвольной функции /(а). В [334] рассмотрен частичный случай, когда параметр полностью фиксирован:
/(а) = i/o, A2 = 1. (11.74)
187. Этот случай соответствует свободно падающей системе отсчета. Согласно (11.66) и (11.74), имеем
—L Vй ГГГ
the=« 2, 2? = — . (11.75)
Обе локальные координаты dx^' и dx(4)/, установленные на базе координатной системы (11.71), очевидно, являются неголо-номными.
Таким образом, сформулирован тетрадный метод устранения особенностей на сфере Шварцшильда, явная и двойная ковариантность которого позволяет использовать не только сднопараметрические локальные лоренцевы преобразования и не только ортогональные координатные системы.
Вообще говоря, выбор координат и систем отсчета (в их реперном определении) независим друг от друга. Координатные же системы без особенностей в метрике поставлены в зависимость от систем отсчета. Действительно, включение в систему (11.13) локального лоренцева преобразования, отличного от тождественного, является необходимым. В противном случае в системе
Wk = Ptyvk (11.76)
ни одна из тетрад HP9k не может быть задана произвольно.
Данному локальному преобразованию Лоренца, т. е. данному переходу от одной неинерциальной системы отсчета к другой, вообще говоря, соответствует некоторый класс координатных преобразований. Йз рассмотренных примеров видно, что после задания лоренцева параметра еще имеется возможность наложить разные частные ограничения на координатную систему. Тождественному преобразованию Лоренца соответствует лоренцев параметр, равный нулю. Например, в случае (11.66) имеем Л(а)=0. Из (11.69) видно, что тогда тетрады на гравитационном радиусе расходятся.
С переходом к ньютоновому приближению эйнштейновой теории гравитации посредством критерия оо проблема устранения расходимости снимается, так как
2km
r0 = 2т*
-0. (11.77)
Однако тетрадный метод разыскания криволинейных координатных систем уже с помощью локальных преобразований Галилея может быть использован для разыскания «ускоренных координат», удобных для соответствующих расчетов.
Таким образом, координатные системы с тетрадами и метрикой без особенностей принадлежат к «ускоренным системам координат», причем таким, которым соответствует локальное лоренцево преобразование с параметром-скоростью равным скорости света на гравитационном радиусе.
11.5. Лоренцев параметр вне и внутри сферы Шварцшильда. Разрешая систему (11.13) относительно L//1, находим
Lk." =. WJivnP^ = V k>hv". (11.78)
В подпространстве (х1, х4), если исходные тетрады диагональны, эта система принимает вид:
L(ly<4> = V'oyhW = Vorbw.
(11.79)
LfiyW = Wf4yHtWPri = h\AYhWt
LwW = W^hlWp4A = VfiyHlW,
(11.80)
LfD-W = WvyhlVPv* = VovhiW,
Следовательно, в области г>г0 условия нормальности и старых и новых тетрад приводят к однопараметрическому локальному лоренцеву преобразованию, т. е.
р= Ww = LiIГ<4> ^ AVi = AV 81)
L(I)'^ L(4)'(4) /I1(I)' /І4(4)'"
