Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
?uv = P^nSun = V0Ve^(DC) =
і- -(i+fx')} <азі)
т. е. искривленной является лишь временная ось системы (я**). Из (6.31) видно, что локальное лоренцево преобразование имеет место в плоском 4 - пространстве. Действительно:
г1« = nw = - у ?"^44 = f (1 + f J1,
T441 = PikW = 4" Ziid^ = ^—"—» (6-32)
2 і+-** С
Г^ EMV] = 0, S(4)(i)(4) = Y(4)[(l)(4)] + ^(4)(1)(4) = ^414 = 0^-^1 = 0'
Рассмотрим предельный случай неголономных лоренцевых преобразований, разлагая в ряд shat и chat:
Hm Lk^ =
c-* Oo
+ + ..Л оо--! (Ж+ J*+..
\ 2!с2 J с\с 3!с3
О 10 0
0.01 0
I с 3!с3 ) ^ 2!с2 )
91 (6.33)
В пределе приходим к обобщенному преобразованию Галилея, зависящему линейно от времени. Далее:
Hm е^ = 6^>SV<"> Hmgww = diag (0, 0, 0, - 1),
С-> оо С—>00
(6.34)
Iim P11* = GkM0 = Gm.
С—>00
т. е. временная ось системы (л;**) выпрямляется. Следовательно, dXi ^dT = lim P}dx» = 64}dt,
с-*- oo
(6.35)
dx<4> = lim hwdx» = 64<4>A, dx<4> = dT.
c-* oo
В рассматриваемом пределе промежуточная, локальная система (dx(r)) становится голономной. Обобщенные галилеевы преобразования (6.33) также оказываются голономными. Это вытекает и из (6.25):
lim Q(4)(1)(4) = 0, (6.36)
с ->оо
и из непосредственного подсчета объекта неголономности: lim Q(4) (1)(4) = Gm(l)G"(i)d[mG„](4) = О,
c-* оо •
(6.37)
Gn(i) = 0.
В пределе отличаются лишь координаты dx(1) и dX1 локальной и глобальной систем координат. Используя обобщенные галилеевы преобразования, находим
dxW = Gk^dXk = GcWdXi + G-W dT =
= dX{— gTdT = dX1'. (6.38)
Интегрируя, получаем
Xі' = х<х> =Xi — х<2> = , *(3> = X3, (6.39)
2
т. е. классический закон преобразования декартовых координат при переходе от инерциальной к равноускоренной системе отсчета.
Итак, во-первых, приведенное рассмотрение равноускоренной системы отсчета может служить частным примером ре- перного определения системы отсчета, а переход к ней обобщенным лоренцевым преобразованием, в пределе обобщенным галилеевым преобразованием — примером преобразования от инерциальной системы отсчета к неинерциальной.
Во-вторых, поскольку пространство плоско, имеет место совпадение преобразований от глобальной псевдодекартовой системы координат к псевдодекартовым локальным и преобразований от инерциальной системы отсчета к равноускоренной. При рассмотрении равноускоренной системы отсчета в [30] отмечено, что термин «система отсчета» толкуется формально, в смысле «координатная система». Вышеизложенное оправдывает такую идентификацию.
6.3. Переход к равномерно вращающейся системе отсчета неголономным лоренцевым преобразованием, зависящим от радиуса. Задание инерциальной системы отсчета посредство^ глобальной псевдодекартовой координатной системы производится постоянными тетрадами, совпадающими с коэффициентами голономного преобразования Лоренца СТО. Для многих приложений удобнее задавать инерциальную, в частности, покоящуюся систему отсчета, переменными тетрадами, с помощью трехмерно-криволинейной системы координат. В качестве примера рассмотрим случай 4-мерной цилиндрической координатной системы. Тогда
VV%n=b №%» = '2> VVtIwi = -I.
(6.40)
VV%n = 0 при \х ф V.
Эти уравнения могут быть дополнены различными калибровочными условиями. Выберем, например, калибровочные условия нормальности (каноничности) тетрад:
= 0 при |i > (Л). (6.41) Из (6.40)-(6.41) находим:
V = diag (1, г, 1, 1),
(6.42)
diag ^l, J-, 1, lj.
Отсюда следует
(2)(1) = ^ (2)Л* (ІАЛ^2) = J-. (6.43)
2 г
К тем же тетрадам можно прийти другим путем, исходя из тетрадных векторов глобальной псевдодекартовой системы координат, совершив над ними неголономное преобразование кругового вращения R\n) и затем спроектировав пре-
93 COS ф sinq> О О \ / cos ф — г sin ф О О
Sin ф cos q О О И віпф ГСОЭф О о
о О 1 О О О 1 о
О О О 1/V О О О 1
образованные тетрады на оси цилиндрической системы координат, т. е.
Kk = я*<пЛ(л) =-
(6.44)
Эти тетрады можно подвергнуть голономному лоренцеву преобразованию, содержащему постоянную скорость. Преобразованные тетрады будут задавать инерциальную систему отсчета с помощью цилиндрической координатной системы. Применив к тетрадам (6.44) обобщеное лоренцево преобразование, содержащее переменную скорость, перейдем к неинерци-альной системе отсчета. Так, совершив над тетрадами (6.44) обобщенное лоренцево преобразование, использованное в [51], вида
ООО
Lkn (г) =
Y
О
0
1
1
--(О гу
с
¦ ¦— агу О с
Y= I
_ bj2r2 У ~ Ca J
О Y
ю - const,
(6.45)
перейдем от покоящейся к равномерно вращающейся системе отсчета. Последняя будет описываться тетрадами
Kk' =
А* в- =
1
О О О
11
о о о
о
уг
0
1
О
0
1
--югу О
с
О
У/г
О
-(OrY
1
О
0
1 о
0
1 2
--Cor2Y
с
О
Y О
1
— (0Y с
О
Y
(6.46)
(6.47)
94 Из (6.46)-(6.47) вытекает [52, 53]:
QWi2yiiy = h»i2yh\iydM*y =
2 г
QW
0)'<2)' =
coy2
