Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Одно из возможных определений конформных преобразований состоит в том, что это преобразования, сохраняющие углы. Применим эту идею к конформной геометрии изотропной гиперповерхности J+ в случае асимптотически плоского пространства — времени. На J+ должны быть определены два типа углов, именно обычные конечные углы и изотропные (нулевые) углы. Конечный угол образуют в некоторой точке на J+ два различных направления в J+, которые не компланарны изотропному направлению і в J+. Два направления в точке J+, отличные от і и компланарные і, определяют изотропный угол на J+. Численная величина изотропного угла с необходимостью равна нулю, но тем не менее имеет смысл говорить, что
12* 180
Статья S. Р. Пенроуз
один изотропный угол больше другого, если он включает этот другой как свою часть. Чтобы сделать эту идею совместной глобально, необходимо установить правило эквивалентности между изотропными углами по всей гиперповерхности J+. Это можно проделать следующим образом. Выберем специальную метрику для <Ж, такую, что расходимость J+ исчезает. Это всегда возможно, когда о/Я асимптотически плоско, ибо тогда сдвиг J+ также должен исчезать. Если же и сдвиг и расходимость J + исчезают, то можно определить параллельный перенос векторов bJ+c помощью определенных на о/Я символов Кристоффеля. Понятие параллельного переноса векторов определяет параллельный перенос изотропных углов. Теперь можно доказать два свойства этого параллельного переноса. Во-первых, он устанавливает интегрируемую эквивалентность между изотропными углами, и, во-вторых, эта эквивалентность не зависит от частного выбора метрики в еМ (о котором уже говорилось выше). Таким образом, устанавливается сильная конформная геометрия на J+. Автопреобразования гиперповерхности J+, сохраняющие эту сильную конформную геометрию (и не изменяющие направления времени), определяют группу асимптотической симметрии Бонди — Метцнера — Сакса для асимптотически плоского пространства — времени. (Точное определение того, что следует понимать под «асимптотически плоским» пространством, мы здесь не давали. Если а/Я асимптотически простое и Bliv = Ob окрестности J, то этого достаточно. Включение электромагнитных полей с разумными свойствами вблизи J не вносит существенных изменений.)
Когда вЯ — пространство — время Минковского, то можно выделить неоднородную лоренцеву подгруппу группы Бонди — Метцнера — Сакса. Это можно сделать, выделяя только такие автопреобразования гиперповерхности J+ (сохраняющие сильную конформную геометрию), которые регулярны в точке I+ или, что эквивалентно, в точке Это исключает «супертрансляционную» часть полной группы Бонди — Метцнера — Сакса, в которой различные генераторы гиперповерхности J + могут смещаться независимо. Если бы &Я было бы только Литература
181
асимптотически плоским, то I+ могла бы быть сингулярной. Такой ситуации следовало бы ждать в любом случае, когда материя присутствует на бесконечности в будущем. Иначе говоря, I+ была бы не сингулярной, только если вся материя, присутствовавшая когда-либо в системе, в конечном счете излучалась бы в виде полей с нулевой массой покоя. В отношении положение еще хуже. Так как T0 сингулярна в случае решения Шварцшильда, она оказалась бы сингулярной для любой асимптотически плоской системы с ненулевой массой. Таким образом, неоднородная группа Лоренца, по-видимому, в общем случае не может фигурировать в качестве группы асимптотической симметрии для асимптотически плоского пространства — времени.
ЛИТЕРАТУРА
Bateman H., Proc. Lond. Math. Soc., 8, 223 (1910). Bergmann P. G., Phys. Rev., 124, 274 (1961). Bondi H., Cosmology, Cambridge, 1952.
В о n d і H., V a n d e r B u r g M. G. J., M e t z n e r A. W. K.,
Proc. Roy. Soc., A269, 21 (1962). Buchdahl H. A., Nuovo Cimento, 11, 496 (1959). Cunningham E., Proc. Lond. Math. Soc., 8, 77 (1910). Fierz M., Helv. Phys. Acta, 13, 45 (1940). Hogarth J. E., Proc. Roy. Soc., A267, 365 (1962). McLennan J. A., Jr., Nuovo Cimento, 10, 1360 (1956). Newman E. T., PenroseR., Journ. Math. Phys., 3, 566 (1962). Newman E. T.,Unti T. W., Journ. Math. Phys., 3, 891 (1962). Penrose R., Ann. of Phys., 10, 171 (1960). Penrose R., Null Hypersurface Initial Data for Classical Fields of Arbitrary Spin and for General Relativity, preprint 1961 (будет напечатано в расширенном виде). Penrose R., Proceedings of the Conference on Theory of Gravitation (1962), Warszawa, 1964. Penrose R., Phys. Rev. Lett., 10, 66 (1963). Penrose R., Report to the Cornell «Nature of time» Meeting
(будет опубликовано). Rind Ier W., Month. Nat. Roy. Astr. Soc., 116, 662 (1956). Robinson L1Trautman A., Proc. Roy. Soc., A265, 463 (1962).
Sachs R. K., Proc. Roy. Soc., A264, 309 (1961). sachs R. K., Proc. Roy. Soc., A270, 103 (1962). Sachs R. K., Phys. Rev., 128, 2851 (1962). Schrodinger E., Expanding Universes, Cambridge, 1956. Sciama D. W., Proc. Roy. Soc., A273, 484 (1963). Trautman A., Bull. Acad. Polon. Sei., 6, 403, 407 (1958). 6. ИЗОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОГРУЖЕНИЕ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ В ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
