Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
W = J (dx) [Пыдодhl + фЧф - e0(0)e(o)h Ы + Th)-
-Cto(O)g-Vi (то + Г»)].
Уравнения связей, получаемые варьированием по е(0)'' и е0(о>, имеют вид
** + 2» = 0, т° + = 0,
или, в другой форме,
2 (OlIlhl-диПи) = ^ +Th = Qh
и
— ojkdj?" = 2х (to + T0) = 2x00,
где
tk=~ Ulmdhqlm + dh [2П1т (qlm - o,m)] --дг[2ПАт (9іпі-бгт)]
и
= ) Q + 2хП"г " - 4klqnn"> П
В этой форме уравнения связей неявным образом задают некоторые линейные дифференциальные функции от полей qhl и ПАг.
Те же самые комбинации полевых переменных появятся в члене, соответствующем временной производной в операторе действия, если записать
qhl = qhiT + _ 8hldmqm + dhdtq
и
пАг = пыт+-L (aknf+o,nft)—6*,amnm+адп,
где, например, величины qklT, равные поперечным имеющим нулевой след частям qkl, таковы, что
QhqMT = Qt qkkT = 0.
Две независимые компоненты этого поля комбинируются с qh и q так, что образуется представление шестиком- 80
Статья 3. Ю. III вин г е р
понентного поля qkl. Это представление таково, что при условиях, когда правомерно интегрирование по частям,
J (dx)Uhld0qkl= J (dx) Пftгтo0<7гi'т — - (4 dhd^i + 4 V2Ilfe) d0qh + Шо (V2)2? ] ,
где
А- дфгПг + A- V2nft = д1Пи1 - диПи = А- 0Й, (V2)2^r = дкдгцы = -2х0о. Оператор действия теперь можно представить как
W = J (Cte) [ П^о^ + фОЗоф +
+ 0ftoo(-A_?ft)-Ooo„(-2xn)] ,
где мы также воспользовались свободой добавлять граничные члены. Операторы и O0 должны быть построены из ф°, ф и Пйгт, qklT вместе с qk и П. Пары полевых переменных являются, очевидно, каноническими динамическими переменными, a qk и П есть численные параметры преобразования. Оператор действия построен аддитивно из операторов, описывающих бесконечно малые приращения а;0:
Wdxо= J (йх)[ПЛ^ + ф°йф + + Qkd (-4"?)-е°<*(-2хП)] .
Данное здесь бесконечномерное параметрическое преобразование может быть отождествлено с локальным описанием физической эволюции системы в пространстве — времени. Так, d (—1I2Qh) и d (—2хП) интерпретируются как бесконечно малые локальные смещения координат пространства и времени, a Oft и O0 оказываются соответственно плотностью импульса и плотностью энергии. При такой физической конкретизации смысла координатных параметров мы можем сделать дальнейший шаг в ограничении математического произвола относительно координатных пре- Квантованное гравитационное поле
81
образований с тем, чтобы определить физически выделенный класс координатных систем.
Когда величины qkl не являются явными функциями от параметров смещения пространственных координат? Условие для этого имеет вид
"2 (dk dqi + ді dqh) — bhldm dqm = 0 или эквивалентно
9ft dqi + didqk = О, откуда также вытекает, что
V2 dqh = 0.
Как следствие этих ограничений —1Izdqh могут быть лишь линейными функциями пространственных координат:
— Jdqh = deh (х°) — daki (х°) хи
daki + daik = 0.
Мы имеем здесь описание жестких сдвигов и поворотов системы координат. Соответствующие инфинитезимальные операторы представляют полный импульс и полный момент
Pk= ^ (dx) Oft,
Jhi = ^ (dx) (XkOi--XlQk).
Аналогичным образом 11?; не будет явной функцией от параметров смещения по времени, если
дкд,. сШ = 0,
т. е. если cffl есть линейная функция пространственных координат,
— 2х cffl = de° (х°) + daok (я0) xk.
Соответствующие инфинитезимальные операторы представляют полную энергию
ро = J (dx) 0°
'> За паз JNii 28 82
Статья 3. Ю. Ill вин г ер
и генератор группы преобразований Лоренца Joh-xoPh=-\ (dx) zk&>.
L/
Этот член выделенного класса эквивалентных с точностью до преобразований Лоренца координатных систем характеризуется координатным условием
—-Jqh = Xk, —2x11 = X0.
В этой координатной системе уравнения поля упрощаются до вида
и
П*і = IlhlT + і. (дЛ + Q1U h) __ 8hldmUm.
Пространственное граничное условие, налагаемое тем самым в точках, удаленных от областей, которые заняты энергией:
|х|—>оо, dkdi QljTJ X2^) —»0
совместно с дифференциальным уравнением четвертого порядка, которому подчиняется q или <7 + 3/2х2.
Операторы импульса и момента содержат в явном виде только канонические переменные
Ph = J (dx) [ - ф0дйф _\UmT0hqlmT\
и
Jm = J (dx) [ — ф° (Xhdl — Xidh) ф — - ПтпТ (хфг - Xldh) qmnT + 2П1т VmT - ^hrJ qlnTI •
Все ожидаемые коммутационные свойства этих операторов можно получить из канонических перестановочных соотношений в равные моменты времени
— г [ф (ж), ф0(х')] = в(х-х'), - і [qUT (х), ПтпТ (х')\ = [SnwfciS (X - х')]Т, 8mnhl = j(8mk6nl + 6n4ml), Квантованное гравитационное поле
83
включая
lqlmT(x), Pk]= -idhqlmT(x)
и
\qmnT (х), Jkl1 = - і (Xudl - Xidh) qmnT (х) + + і (8inqhmT + 8imqhnT— bhnqlmT- 8hmqlnT).
Эти результаты показывают, что квантовомеханиче-ский формализм, связанный с каноническими перестановочными соотношениями, удовлетворяет требованию инвариантности относительно трехмерных сдвигов и поворотов. Вопрос о лоренц-инвариантности зависит от интегральных свойств коммутатора для плотности энергии в равные моменты времени. Именно в этом пункте гравитационное поле отличается от всех других физических систем, так как для него не существует явного выражения 0° через фундаментальные переменные, но лишь неявное определение через уравнения связей. В классической теории это отсутствие явной формы привело бы к вычислительным трудностям; в квантовой же теории оно может оказаться даже непреодолимым барьером при проверке внутренней непротиворечивости формализма.
