Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
h(a)ih(a\ = glk, или AwW0k = Я1". или = (2.2)
Формулы (2.2) определяют метрическое поле, соответствующее данному тетрадному полю. Однако для данного Законы сохранения в тетрадной теории гравитации
39
метрического ПОЛЯ gik (х) тетрадное поле определяется этими формулами лишь с точностью до произвольного лоренд-поворота тетрад, ибо если некоторое h(a)i удовлетворяет формулам (2.2) при данном gik(x), то тогда и всякое
Я(а)і = Ца)((,)ИА((,)і (2.3)
будет удовлетворять им при условии, что функции Й<а><"> (X) в каждой точке х подчиняются обычным требованиям ортогональности. Любую функцию метрического тензора и его производных можно с помощью (2.2) записать как функцию тетрад и их производных, причем подобная функция будет инвариантной относительно произвольных поворотов типа (2.3).
Предположим теперь, что уравнения гравитационного поля могут быть получены из вариационного принципа
6 J (? + ?'"")^ = 0, (2.4)
где S — гравитационный лагранжиан, обладающий свойствами а и б, а — лагранжиан материи, являющийся функцией переменных тетрадного поля и переменных поля материи и их первых производных. Рассмотрим прежде всего общие следствия этого предположения.
Уравнения поля, следующие из принципа (2.4), имеют
вид
Если положить
AO(Hl)
— _J h <р.й_ A(O) у h /о
бЛ<а>А"~ <а> ' ^i-'1 (1V) і V)
то их можно переписать в виде
A = или А», Д^ЇД (2.7)
Величина Tih = JEift/j/~—g есть тензор материи, проявляющий себя как источник гравитационного поля в уравнениях (2.7). В общем случае Tih = Thi — симметричный тензор. Это, безусловно, верно в случае, когда материя представлена электромагнитным полем или обычным упругим телом; кроме того, это выполняется для 40
Статья 1. X. M ё л л е р
фермионного поля, если только соответствующий лагранжиан S(m> выбрать так, чтобы он был инвариантным относительно произвольных тетрадных поворотов (2.3) [8, 9].
Следствием свойства б, требующего, чтобы S был истинной скалярной плотностью, является тождество (см., например, [4])
IlWXft-W^i = O, (2.8)
которое при учете уравнений (2.7) приводит к закону сохранения
Sikjft-SwValli = O. (2.9)
Если ввести тензор
Yш = h(a) ih$i = — Yah. (2.10)
где использовано принятое обозначение для ковариант-ного дифференцирования, то закон (2.9) можно переписать в форме тензорного уравнения
Tihik-\-Т1туш = 0. (2.11)
В случае симметричного тензора материи уравнение (2.11) сводится к обычному закону сохранения из теории Эйнштейна.
Чтобы найти выражение для комплекса энергии импульса, мы будем действовать таким же образом, как и в разделе I, а именно вычислим Sia,1 в (2.9) с помощью уравнений поля (2.7). При этом уравнение (2.9) приобретает вид
T;\ft = 0, (2.12)
где в аналогии с (1.7) и (1.8)
Tih = Etft + ^,
Как так и tik представляют собой однородные квадратичные функции от первых производных тетрадных функций. Дальнейшим следствием свойства б является наличие суперпотенциала (см. [4])
11 hi _ SS b (a)__ 9S__fc.(a) _ (2 а\ Законы сохранения в тетрадной теории гравитации
41
при помощи которого комплекс Tj'' представляется в виде
Tife = IW (2.15)
Из свойств а и б лагранжевой плотности 2 следует, что Ukl есть истинная тензорная плотность; легко проверить, что комплекс, задаваемый соотношениями (2.15) и (2.13), удовлетворяет всем трем свойствам I — III, сформулированным в разделе I.
Если умножить (2.14) на Аг(Я), то вследствие (2.2) мы получим
=-AiwUf"=-Uc.,", (2.16)
так что уравнения поля (2.7) приобретут вид
+ I = ^iJt- (2.17)
Каждый член здесь является векторной плотностью. Из антисимметрии 31(а>''л но индексам к ж I следует, что векторная плотность
IV)*1 = — ^W = U(O). [ (2.18) имеет исчезающую дивергенцию
Vttft = O. (2.19)
Тензорная плотность
U1" S А,«» V = h^ -ЩШT = AiwVw, і (2-20)
тесно связана с комплексом энергии — импульса Tife. Действительно, она равна тензорной части Tih- Вследствие (2.15) тензорную плотность (2.20) можно записать в виде
Ui" = Uiklt, - VA,«", I = Tik- UmhV0Awj, Отсюда
V = U1"+ VAmU, (2.21)
где
Aiftl-A1mAwft,,. (2.22) 42
Статья 1. X. M ё л л е р
Далее, сопоставляя первое из равенств (2.13) с (2.21) и (2.20), получаем для гравитационного комплекса tik выражение
^i=-Vaj j^ + Wi. (2.23)
Последние члены в (2.21) и (2.23) не имеют тензорных свойств, так как Дl^i не тензор.
Выводя явное выражение для S в работе [1], мы начали с замечания, что скалярная плотность кривизны 9$, будучи записана через тетрадные полевые функции, имеет вид
= S1-H', г, (2.24)
где последний член представляет собой дивергенцию векторной плотности , а S1 обладает свойствами а и б, указанными в разделе I. Явное выражение для Si следующее:
Si = |A|[Yr.tV'r-<W], (2.25)
где h есть детерминант
A = det{A(0>(}> (2-26)
абсолютная величина которого равна
\h\ = V"=g, (2.26')
а вектор Фг определен как
Ф* = Viki- (2.27)
Вследствие (2.2) и первого уравнения (1.11) мы получаем из (2.24)
бйд __ б?тг _ 6? dg?* __
