Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим, согласно А. 3. Петрову, в локальной геометрии касательного пространства, возникающей в каждой точке 4-пространства, тензоры, обладающие четным числом контра- и ковариантных индексов, причем индексы каждого рода делятся на кососимметричные пары. Перенумеруем каждую пару подобных индексов «битензора» по схеме:
14 —> 1 24 —> 2 34 3 23 -> 4 31 5 12 —> б
Оказывается, что локальное бивекторное множество тензоров допускает отображение на так называемое центро-аффинное пространство ?6, что определяет изоморфизм 28
Вступительная статья
gab —
(23)
по отношению к сложению, вычитанию и умножению битензоров.
Мы получим метрическое пространство R6 с тензором grab, метризуя ?6. Если
г'-'
go? =• i _ j
V +1.
то в бивекторном пространстве R6 в орторепере по определению имеем gab = gayg?o — gaog?y, т. є.
... ї
-1
+ 1
+ 1
\ +1/
Аналогично тензор Римана Ra?yo индуцирует в R6 битен-зор Rab. Основной пункт заключается в рассмотрении Х-матрицы для Rab и корней секулярного уравнения
I Rab - ^gab I = 0»
которое и будет задавать тип пространства и соответствующие инварианты.
Напомним, что, действуя аналогичным образом в случае электродинамики при рассмотрении матрицы | fa?—|> мы получаем оба основных инварианта теории: (E2 — H2) и (EH)2.
Доказывается, что матрица Rab для любого орторе-пера будет иметь вид
IM N \
= -м)- <24>
Вторая важная теорема А. 3. Петрова гласит, что существуют три и только три типа характеристик Х-мат-рицы; следовательно, имеются три и только три типа пространств с метриками, удовлетворяющими уравнениям Эйнштейна, вообще говоря, с космологическим членом Л, но без обычной материи. Вступительная, статья
29
При этом битензору Rab всегда можно придать следующий вид:
р. \
P2 , (25а)
Рз/
23 а, = —Л, IPi = O;
І
/а, \ /Pi 0 0 \
Тип II: M = I «2+1 L N = О P2 1 ,(256)
\ «2-1) \о і р2;
аі + 2а2 = —Л, P1 + 2?2 = 0;
/-Л/3 1 0 \ /0 0 0\
Тип III: M = I 1 -Л/3 О , N= О О 1 . (25в)
\ О О -Л/3/ \0 1 OJ
Полученные результаты обобщаются на случай присутствия обычной материи, характеризуемой тензором T0р путем введения тензора Петрова пространства-материи:
P a?v6 = Ra?yo — SapY6,
где iSagyft конструируется ИЗ Tap Hgr0P, причем в общем случае снова существуют три и только три типа пространств.
В дальнейшем А. 3. Петров с сотрудниками [127—130] исследовал классификацию полей тяготения общего вида по группам движений, допускаемым полем данного вида. Это дает возможность получать в замкнутом виде метрики пространств. Суть дела заключается в том, что при движениях в римановом пространстве метрика и поле тяготения не меняются; таким образом, полю можно сопоставить геометрию автоморфизмов данной группы движений. В частности, пространство Минковского специальной теории относительности отвечает 10-параметрической группе движений Лоренца.
Решение Шварцшильда соответствует некоторой 4-пара-метрической группе движений. Для полей типа II найдена 6-параметрическая группа максимальной подвижности,
Тип I: M--=
N = 31
Вступительная статья
являющаяся аналогом группы Лоренца, однако для метрики, не переходящей в метрику Минковского. Для полей максимальной подвижности типа III найдена метрика с 2-параметрической группой движения, также не сводящаяся никогда к плоскому пространству.
Отметим, что решения Шварцшильда, Вейля, Розена, Эйнштейна, а также космологические модели Эйнштейна, де-Ситтера, А. Фридмана, Геделя, Хекмана и Шюкинга (см. § 8) все относятся к полям типа I или II. А. 3. Петров с сотрудниками, Розен, Бонди и Робинсон нашли некоторые метрики, соответствующие полям типа II или III.
Однако вопрос о физической интерпретации полей типов II и III еще далеко не ясен. В частности, возникает вопрос об их физической реальности, поскольку лишь поля типа I дают в пределе метрику Минковского. На наш взгляд, либо мы должны выяснить их физический смысл, предсказывая тем самым необычные области пространства, либо заключить, что уравнения Эйнштейна содержат в себе описание некоторых ситуаций, не имеющих отношения к действительности.
Пенроуз [33] проводит сравнение классификаций по трем типам в тензорной и спинорной формах.
Развивая работу А. 3. Петрова по эйнштейновским пространствам, для которых тензор Риччи Ra^ удовлетворяет уравнениям поля, Шелл [125] устанавливает классификацию четырехмерных римановых пространств с сигнатурой +2 (+ + + —), основываясь не только на алгебраических, но также на дифференциальных свойствах тензора Римана и применяя понятие группы голономии пространства1).
§ 7. Экспериментальная проверка общей теории относительности
Остановимся сначала на проверке трех основных предсказаний общей теории относительности.
1. Гравитационное красное смещение. Если источник, обладающий 4-скоростью ^s, излучает свет частоты vs, то
1J Инфинитезимальная группа голономии есть группа вращений в соответствующем плоском касательном пространстве (Шелл [125]). Это исследование примыкает к многочисленным работам Главатого по группам голономии [131]. Вступительная, статья
