Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
by = 1 62 _ 1 г д2 ґ as_\ 1 f5-v
бYa " и bgik * Idgik Vdgjft JЛ J ' ^ '
Так как gih = gk\ мы имеем здесь случай, когда некоторые из Ya равны между собой. Таким образом, 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 97
согласно условию, указанному на стр. 91, уравнения (22) выполняются, т. е.
= д^ 6g = 6? ,-g, dgih~~dgki1 oglk~~ ogik'
Однако величина V = Й/х ведет себя как скалярная плотность лишь при линейных пространственно-временных преобразованиях. Поэтому в таком случае могут быть получены лишь тождества (36) и (37), так как для линейных преобразований ъ\ = Ц j ,m = 0, что означает исчезновение двух последних членов в (32). Простой расчет показывает, что в этом случае
Sik = 2© Д Vikl = 2sik\ (57)
где величины @ik и Sikl определены равенствами (1), (3) и (4). Кроме того, равенство (30) совпадает со свернутыми тождествами Бианки:
^7??^ + = O- (58)
Это уравнение, однако, не может быть получено с помощью метода, использованного в § 2, поскольку в таком случае
потребовалась бы инвариантность ^ Vdx = ( 1/х) ^S dx
Й Q
относительно произвольных пространственно-временных преобразований.
Более удовлетворительной является трактовка гравитационного поля как нелагранжевой системы типа рассмотренных в § 2, причем
V-^-^JL. (59)
Эта величина зависит от glh и их первых и вторых производных gf* и g\km. В этом случае мы также приходим к уравнению типа (52), т. е.
6 5 ш dx= [ 7?" 6Sik dx = 5 6^ift dx> (60)
Q n^
Заказ № 738 10O
X. Мёллер
или
09?
Причина этого обстоятельства состоит в том, что 91 отличается от S лишь слагаемым типа дивергенции. Действительно,
»-«V,. (62)
Это следует непосредственно из (1) и (8), если заметить, что
= V -g(T'r + bTr) =
-ф^ + а^в?"-4«]=^»-8)- (63>
В последнем соотношении мы воспользовались тем обстоятельством, что 2 является однородной функцией glrm 2-й степени. Пользуясь величинами h*1, определяемыми соотношениями (7), легко показать, что
Ar" = і (V=B & + 2glm (V~g),m) = ^7= ( - g gim),m
(64)
(см., например, Приложение в работе [10]).
При произвольных вариациях б glft, обращающихся в нуль на границе области ?2, теперь получим
б ^ i)dx =^-^it Sgift dx = (б hrrl)tl dx = 0, (65)
0. (66)
т. е.
of)
Если теперь принять
2. Комплекс энёргии-имгїуАьса в общей теории дткобитёлЬНОсМи 90
уравнения поля примут вид (17), т. е.
= І J^ = TJ^ = - Уz7S Tik. (68)
Поскольку 9? ведет себя как скалярная плотность при произвольных пространственно-временных преобразованиях, здесь остаются в силе соотношения (32) — (46). Бесконечно малое преобразование (23) дает теперь
Sgre = SsftI!*+grhKk-g?l\ (69)
откуда из сравнения с (25) получим
HN = Wrsfti = 0^ + 21* 6?. (70)
Тогда из (30), (68) и (70) получим прежде всего
т. е. тождества Бианки (58). Далее, используя (33), (59), (61), (62) и (70), находим
^ * L dg? { dtfj Jj J gt +
+ L(NLS)gT. JL0J^ (72)
X ^ dSk I ' ' X ' X
или, используя формулу (3) и уравнения поля (2),
Sih = v~g ( Ti + 20г" - -I- Gt ) + Ahi - KihlJ, (73)
-(^«¦+[CTfc«!'),-*!«- <74>
- т (« т®— »i 1?-) й = - *!'• <75>
0Sl ,т 0^k ,т
где 10O
X. Мёллер
Как показано в Приложении А, при величине f), определяемой соотношениями (62) и (64), величина Ai тож-
Tskl
дественно равна нулю, а д f определяется соотношением Kki1 = bkihrrl - o|Arr\ (76)
Следовательно,
Sik =V^g (ТЇ + іік), (77)
где
= - 4 + 2 V=^ei* - (ft?ArrI - 0iVfc)tI (78)
есть величина, определенная равенством (И). Таким образом, «сохраняющаяся» величина Sih равна в этом случае в точности псевдотензорной плотности энергии и импульса, определенной формулой (10).
Из соотношений (46), (62) и (70) для суперпотенциала U kl получим выражение
Uihl = Sikl - Silh + Bi1 - Bf, (80)
где s.hl — величина, определенная равенствами (4)-(7), и
+i5-A-T(-J-«*0 • <8|>
Ogi tm 4 o8l ,m Л™
Вычисление величин в\1 и Uikl выполнено в Приложении А, где обнаружено, что суперпотенциал Uikl равен в данном случае суперпотенциалу определяемому соотноше-
нием (13) и приводящему к тому, что соотношение (44) совпадает с (12) для %ih. Таким образом, метод бесконечно малых преобразований приводит с точностью до произвольного постоянного множителя непосредственно к выражениям (10) — 2. Комплекс энергии-импульса в общей теории относительности 101
(13) для плотности псевдотензора энергии-импульса. Произвольный множитель определяется условием равенства правильным значениям интегралов Pi для «замкнутых» систем в (14); в случае У = 5К/х этот множитель равен единице.
§ 4. Поле материи
Предположим теперь, что «материя», порождающая гравитационное поле, имеет свойства тензорного поля и описывается совокупностью переменных поля Qa (х). (Для простоты мы исключаем из рассмотрения спиноры.) Предположим далее, что это поле лагранжева типа, т. е. уравнения поля материи имеют вид
(82)
где ш - скалярная плотность, зависящая от Q1(X)^glh(X) и их производных первого порядка, а симметричный тензор материи получается путем дифференцирования Sfi по glk, т. е.
