Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Из определения (Б.16) очевидно, что структурная функция содержит меньше информации о процессе, чем второй мьмент. В самом деле, если второй момент
Bf(tut2) = (f(tl)r(t2)) (Б. 3)
известен, то всегда можно найти структурную функцию
Df (т) = Bf (t + т, / + т) + Bf (t, t) — Bf(t-\-x,t) — Bf{t,t-\- т).
(Б.4)
Однако, зная структурную функцию, вообще говоря, нельзя получить выражение для второго момента Bf.
Стационарный процесс можно рассматривать как частный случай процесса со стационарными приращениями. В этом случае имеется взаимно-однозначное соответствие между структурной функцией и вторым моментом:
D, (т) = 2Bf (0) - Bf (т) - В) (г), Df (оо) = 2Bf (0),
Re Bf (т) = — [Df (оо) — Df (т)]. (Б. 5)
‘) Вычисляя производную от (Б. 1а), получаем (d/dt) (f(t-\-r))—
— (d/dt) (/(/)) =0, откуда следует, что (d/dt) {/(/)) —константа. Поэтому </(/)) = с+ c-i, где С\ и сг — константы, Отсюда получаем (f(t + т) —
— /(0> =СіТ.
Структурные функции
277
Б.2. Спектральное представление структурной функции
Неопределенный интеграл от стационарного процесса g(t)
t
\g{t)dt, (Б. 6)
представляет собой процесс со стационарными приращениями, и наоборот, производная процесса f(t) со стационарными приращениями есть стационарный процесс.
Если выразить g(t) в спектральной форме [392]
со
?(/)= J e‘MdZ(X), (Б. 7)
где (dZ(X)dZ*(X')) = — X')dXdX', и взять неопределен-
ный интеграл от этого выражения, то получим спектральное представление случайного процесса со стационарными приращениями. Выбирая пределы интегрирования от t = 0 до t, получаем
0°
/ (0 — f (0) = S ^4=-^Z(A). (Б. 8)
— 00
Перепишем это выражение в более привычной форме
оо
f(0 = /(0)+ J (l—ea)d<j>(X), (Б. 9)
— 00
где
df {X) =* - , (df (X) dj>* {X')) = Ф (Л) а (X — X') dXdX'; (Б. 10)
здесь Ф(^) = W(X)/X2 — «спектральная плотность» случайного процесса f(t).
Из (Б.9) получаем спектральное представление структурной функции
оо
?>f(T) = <|/(/ + T)-/(0P> = 2 S (1 — cos Хх) Ф (X) dX. (Б. 11)
278
Приложение Б
Для доказательства этого факта запишем
ОО
/(/ + *) —/(0 = 5 (еш — eai-t+x)) dj> (Я),
— оо оо
[/(/ + т) -/(/)]*= \ {e-wt
— оо
и воспользуемся (Б.10).
Можно найти выражение Ф(Я) через Df(%). Вычисляя произ* водную по т от (Б.11) и используя синус-преобразование Фурье '), получаем
ОО
ЯФ(Я) = -^$8ІпАт^Я,(т)Л. (Б.12У*
о
Если процесс стационарен, то корреляционная функция В;(т) равна I
ОО
Bf(x)= 5 еЛ*Ф(Л)<&. (Б. 13)
— ОО
Подставляя это выражение в (Б.5), снова приходим к (Б.11), откуда следует, что (Б.11) применимо как к процессам со стационарными приращениями, так и к стационарным процессам.
Тем не менее между корреляционной и структурной функциями имеется существенное различие. Спектральное представление (Б. 13) корреляционной функции имеет смысл лишь для стационарных процессов, в то время как спектральное представление (Б.11) структурной функции имеет смысл как для стационарных процессов, так и для процессов со стационарными приращениями. Для пояснения этого утверждения рассмотрим поведение спектра Ф(Я) вблизи значения К = 0. При Я->0 для сходимости интеграла (Б. 13) необходимо, чтобы
Ф(Я)~А/\ п> — 1 при Л, —> 0, (Б. 14)
в то время как для сходимости интеграла (Б.11) достаточно, чтобы
Ф (X) ~ %п, п>—3 при Я-»0. (Б. 15)
') Пара синус-преобразований Фурье имеет вид F (Я) = ^ f (-rjsin Атdx,
о
ОО
f (Т) = (1/2я) ^ F (Я) sin АтdK [318]. о
Структурные функции
279
Отсюда делаем вывод, что если спектр удовлетворяет условию (Б. 14), то процесс стационарен и существуют как корреляционная, так и структурная функции. Однако если условие (Б. 14) не выполняется, но условие (Б. 15) выполнено, то процесс является процессом со стационарными приращениями, и существует только структурная функция, а корреляционная функция не существует. Этот вывод играет важную роль в теории распространения волн в турбулентной среде.
Б.З. Локально однородные и изотропные случайные функции
Трехмерный эквивалент процесса со стационарными приращениями называется локально однородной случайной функцией. Рассмотрим случайную функцию /(г). Заметим, что, вообще говоря, /(г) не является однородной функцией, но /(ri + г) —
— / (**і) —однородная функция.
Структурная функция Df(г) определяется выражением
(Г) = <| / (Гх + г) — / (Гі) I2). (Б. 16)
Если процесс стационарен, то Df выражается через корреляционную функцию Bf(г) и наоборот:
Df (г) = 2Bf (0) - Bf (г) - В; (г), Re Bf (г) = ± [Df (г) - Df (оо)]. (Б. 17)
Если процесс локально однороден и изотропен, то структурная функция зависит только от величины вектора г и не зависит от его направления:
Df (| г |) = Df (г) = <| / (г, + г) - / (г,) Р). (Б. 18)
Спектральное представление локально однородной случайной функции получается как трехмерное обобщение результата для процесса со стационарными приращениями. Выпишем спектральные представления для случайной функции /(г) и ее структурной функции Df(г):
оо
/(r) = /(0)+SSS(l-eIKT)^(K),
— оо
оо
Df (Г) = 2$ 5 5 (1 - cos К • г)ф (К) dK, (Б. 19)
— оо
Щ (К) df (КО) = ф (К) б (К - К') 4К <яе.
