Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
(20.44)
20.5. Решения уравнения для функции взаимной когерентности
В данном разделе мы найдем сначала выражение для функции взаимной когерентности в случае плоской падающей волны, а затем — в общем случае.
В случае плоской волны функция Г (л:, р і, р2) должна зависеть только от л; и р = |рі — р2|. Если при л: = 0 волна когерентна, то
Г (0, Pl — р2) == 1, (20.45)
так что решение уравнения (20.42) имеет вид г (ЛГ, Рь р2) == ехр { — [ Л (0) —- Л (Р! — p2)]x} =
= ехр j — k2x ^ [Вп (т], 0) — Вп (Т|, p)] dr\ |. (20.46а)
' — СО '
Используя формулу (20.13), выражению (20.46а) можно придать следующий вид:
Г (х, р) = ехр | — у D (х, р) |,
“ (20.466)
D (х, р) = 8n2k2x ^ [1 — /0 (яр)] Ф„ (я) я d%.
о
Заметим, что структурные функции флуктуаций уровня и фазы, вычисленные в приближении Рытова, равны (гл. 17)
Dx (х, р) == 2 [Вх (х, 0) — Вг (х, р)] =
СЮ
= Ы2к2х\ [1 — /0 (яр)] [l (20.47)
о
Ds (х, р) = 2 [Bs (х, 0) — Bs (х, р)] =
оо
= 4n2k2x \ [1-/о (яр)] [l + SinX/lk) ]Ф" W%dK- (20-48>
168
Глава 20
Отсюда видно, что функция D(x, р) в формуле (24.466) совпадает с суммой D% и Ds:
D (х, р) = D% (х, р) + Ds {х, р). (20.49)
Функция D(x, р) называется структурной функцией комплексной фазы.
Рассмотрим теперь общее решение уравнения (20.42), удовлетворяющее при х = 0 граничному условию
Г(0, р„ р2) = Г0(рі, р2). (20.50)
Учитывая, что функцию взаимной когерентности Г (л:, рь р2) удобнее описывать, используя разностную координату р<* — pi — р2 и
координату центра тяжести рс = ~ (pi + р2), преобразуем уравнение (20.42) к новым координатам. Мы замечаем, что ')
V? — V # = 2 (——________I-----——^
Уг' Z\dycdyd + dzcdzd)’
где рс = усу + zcz и pa — yd у + ZdZ, так что (20.42) можно представить в следующем виде:
{ 2lk Ж + 2 (дус dyd + dzedzd') + "2~ IЛ (°) ” А Х
X Г {х, Рс pj = 0. (20.51)
По сравнению со случаем плоской волны общий случай характеризуется наличием второго слагаемого в этом уравнении. Рассмотрим теперь преобразование Фурье по координатам рс и ра'
М (х, xd, хс) = Г (х, рс, pd) X
X ехр (— ipd • рс — Ыс ¦ pd) dpc dpd, (20.52)
Г (х, Рс, Pd) = 5 5 М (х’ *d’ ^ ехР ’ Рс + Ыс' d%d dKc' (20-53)
Выполняя такое преобразование Фурье уравнения (20.21), получаем
Ш М (х, Kd, хс) — 2xd • хсМ (х, xd, хс) +
+ НГ S d*cpA (*с ~ К) М(х,иа,*'с) = 0, (20.54)
*) Отметим, что
д д дуг д дуи 1 д д д 1 д д
------------J-----------=------------1-----и —_ =---------------1—.
<?J/l дуе ду1 дуа дуj 2 дуе дуа ду2 2 дус dyd
Сильные флуктуации
169
где
fa Ю = S И (0) — A (pd)] ехр (— Ыс • pd) dpd =
= 6 (хс) А (0) — 2лФе (хс)
представляет собой фурье-образ от Л(0)—^(pd). Последнее слагаемое в (20.54) получено с учетом того факта, что оно является фурье-образом произведения двух функций: А (0) — А (да) И Г (х, рс, pd) ¦
В уравнении (20.54) второе слагаемое содержит множитель к а- Это слагаемое можно исключить, введя новую функцию
М (х, ка, хс) = М0 (х, xd, хс) ехр [— і (xd • Kjk) х]. (20.55)
Тогда для новой функции Мй получим более простое уравнение
2ik ~k М0 *с) - 4" \ d*'cFА (Л - К) X
Хехр[г й ^ °-------— л:] М0(х, xd, х') = 0. (20.56)
Выполним теперь обратное преобразование Фурье уравнения (20.56) по хс:
Г0(х, nd, pd)= ^ Ма{х, nd, xc)exp(/xc • pd)dxc. (20.57) В результате получим уравнение
d ik^ Г ґ х х \ 1
2ik ж г° + ~ Lл (°) ~ л (p<t + ~ir J] г° ^ °*
(20.58)
решение которого есть Го Pd)
= Го (0, х* pd) ехр { - \ ? [ А (0) - A (Pd + dx' |. (20.59)
Окончательное выражение для Г(л:, рс, р^) можно получить, выполнив обратное преобразование Фурье соотношения (20.57) и используя определение (20.55) и (20.53):
Г (х, рс, Pd) = $ $ М° (х’ ^ X
X ехр і —dk *с ) х + /xd • рс + Ы9 • р^) dxd dv.(20,60)
170
Глава 20
С использованием (20.57) это дает Г (лг, рс, pd) = J Г0 (х, xd, pd — ехр (іяа • ре) dxd =
= \ Го (о, *d, ра — ^f~) ехР {• Pd —
_ ^[л(0)-л(р<г-^-(^-Л)]^,}^> (20.61)
о '
где Го (0, ха, рd) определяется значением Г при л: = 0:
Г (0, рь р2) = Г0(0, рс, pd),
Го (0, xd, pd) = -^г J Го (0, рС) р„) ехр (- ixd • pe) dpc. (20-62)
Соотношение (20.61) вместе с граничным значением (20.62) представляет собой общее решение уравнения (20.51).
Вместо переменной интегрирования xd в (20.61) можно использовать pd = pd — ndxjk и представить Г(я, рс, pd) в виде
Г (х, рс, рй) =
= (¦шУ S dPc S Г (О, Рp'd) ехр [*• 4 (pd- р') • (рв- р') - я],
(20.63)
где
х
Я = 4${л(0)-л[р'+(р,-р')4]}^' =
о
X 00
= 4n2k2 ^ dx' ^ [ 1 — /0 (хр)] Фп (и) к d%,
о о
p = lpd + (pd-pd)^l-Отметим, что Г (0, р', р^) есть не что иное, как функция взаимной когерентности ПОЛЯ в двух точках Pj и q'2 плоскости х = 0,
причем p; = p' + -ip', р' = р'_1р^ а Г(*, pe, Pd) —функция
і 1
взаимной когерентности поля в точках pi = Pc + YPd и р2 =
— Рс — yPd в плоскости х. Отметим еще, что ехр[г(&/я)Х
X (prf — Pd) • (Рс — Рс)] представляет собой параболическое
(френелевское) разложение функции ЄХр[і&Гі---ikr2], где Г\ и
г% — расстояния от точечных источников, расположенных в точках (0, pi) и (0, р') до соответствующих точек наблюдения (х, pi) и (х, р2). Функция Н связана со структурной функцией D сфе-
