Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
(V2 k2)ty — 0, (14.1)
где k = 2л/к — волновое число в окружающей частицы среде. Обозначим через <j>° падающую волну в точке га в отсутствие частиц2). Поле г|за в га тогда представляет собой сумму падающей волны и вкладов U° от каждой из N частиц, расположенных в точках rs, s = 1, 2, ..., N (рис. 14.1):
= Ф? + ? (14.2)
Здесь U°— волна в точке га, рассеянная расположенным в точке rs рассеивателем; ее можно выразить через волну (Ds, падающую на рассеиватель в точке г5, и оператор рассеяния и° для частицы, расположенной в точке г5, и для точки наблюдения га (рис. 14.2):
Uas = us Ф*. (14.3)
*) ^ может описывать поле давления в акустическом случае или одну из компонент электрического или магнитного поля.
2) Для полей типа верхний индекс обозначает точку, в которой рассматривается поле, а нижний — происхождение этого поля.
Теория многократного рассеяния волн
7
Заметим, что в общем случае не означает просто произве-
дение Us на Ф5, а является операторной записью поля в точке га, обусловленного падением волны Ф5 на рассеиватель, находящийся в точке rs. Однако если Ф5 можно аппроксимировать пло-
ГҐ
ф
нис. 14.Z. вклад от s-и частицы сумме падающей волны и вкладов при падении на нее эффективного
от всех N частиц.
поля Ф,
скои волной, которая распространяется в направлении единичного вектора і,
Ф =е
ik-r
где k = k\,
(14.4)
и если расстояние между rs и га велико, то в этом случае можно воспол: в виде
воспользоваться приближением дальней зоны и представить и°
«?«/(0, і)
(14.5)
где б—единичный вектор в направлении га — rs, г — |га — г5|, a/(0, і) — амплитуда рассеяния.
Рис. 14.3. Эффективное поле для s-й частицы складывается из поля падающей волны и вкладов от всех частиц, за исключением s-й частицы.
Назовем волну Ф5, падающую на рассеиватель в точке г5, «эффективным полем». Оно состоит из падающей волны и
поля рассеяния от всех частиц, за исключением рассеивателя в точке rs. Таким образом, можно записать (рис. 14.3)
8
Глава 14
Уравнения (14.2) и (14.6) образуют фундаментальную пару уравнений
< = <?• +Z «Ж (14.7а)
5=1
Ф® = #+ ? и] Ф*. (14.76)
<-1, t?-s
Величину Ф в принципе можно исключить из этих двух уравнений и получить в результате решение г)за для заданной падающей волны фи Это можно осуществить, подставив (14.76) в (14.7а) и повторив этот процесс следующим образом:
*“:=#+ ?<(#+ ? «гф'У
5=1 \ Ы1, t&S /
— Ф* + ? и“Ф\ + ? ? и3щф\ +
s—I s=* 1 ? = 1,
+ ? . ? ? ыХ*4^Г + (i4-8)
s=l і —1, t=j=s m—\, тфЬ
Рассмотрим каждый член в (14.8). Первый член — это падающая волна ф“. Следующий член этого ряда
? иаф\ (14.8а)
S—1
учитывает все однократные рассеяния (рис. 14.4, а). Следующая за ним сумма
? ? ККФ\ (14.86)
s-l < = 1, t?*s
описывает все двукратные рассеяния (рис. 14.4,6).
Третья сумма является тройной. В нее не входят слагаемые
с t = s и т = t, тогда как член с s = т в ней присутствует. Эту
сумму можно переписать так, чтобы выделить слагаемые с разными s, t и т и с s = т\
N N N
ЕЕ Е «>х,*г =
S=1 t — 1, t^s т=1, тф t
= Е , І , Е _ «УАФ7+1, Е “»% ««.ад
5=1 г =* 1» t=?s m = l, тфі ¦ m^s s—1 t—l, t?*s
Первая тройная сумма схематически изображена на рис. 14.4, в. Во второй сумме (14.8в) фигурируют только рассеиватели в точках rs и rt; ее графическое изображение дано на рис. 14.4, г.
Теория многократного рассеяния волн
9
Таким образом, в общем случае полное поле \|за в точке га, являющееся суперпозицией падающей волны и всех многократно рассеянных волн, можно разбить на две части:
-•г„
Щ
/
в
./
Ф* Ts
V J ' ЇЇ
¦ > о
Гм І(
Рис. 14.4. Однократное рассеяние (а), двукратное рассеяние (б), трехкратное рассеяние (в) на различных частицах и трехкратное рассеяние при прохождении волной одной и той же частицы более одного раза (г).
1. Одна часть, описываемая первой суммой (14.8в), содержит все многократно рассеянные волны, учитывающие последовательные рассеяния на разных рассеивателях. Эта часть иллюстри-
ft )
т
t
О
Рис. 14.5. Пути рассеянных волн, проходящие через различные рассеиватели (а), и пути рассеянных волн, проходящие через один и тот же рассеиватель более одного раза (б).
руется на рис. 14.5, а. Отметим, что s — текущий индекс для всех рассеивателей, так что имеется N членов с разными s; индекс t отмечает все рассеиватели, за исключением 5, и, таким образом, имеется N — 1 член с разными t. Аналогично имеется N — 2 члена с разными т.
10
Глава 14
2. Другая группа членов описывается второй суммой в (14.8в) и отвечает всем тем траекториям волны, которые проходят через какую-либо частицу больше одного раза. Такая ситуация показана на рис. 14.5,6.
В теории Тверского учитываются все члены, принадлежащие к первой группе (рис. 14.5, а), й отбрасываются члены, относящиеся ко второй (рис. 14.5,6). Очевидно, что первая группа описывает почти все многократно рассеянные волны, и теория Тверского должна давать прекрасные результаты, если обратное рассеяние мало по сравнению с рассеянием в других направлениях.
С математической точки зрения теория Тверского основана на представлении поля в следующем виде:
