Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Г(г, q, td) = I0K(z, q, td) = (15.12)
= /оexp { - 9n6tz[l - exp (- Хо+У )] } •
Заметим, что, поскольку это решение соответствует плоской волне, / и Г не зависят от р. Заметим также, что, поскольку Г и / связаны соотношением (15.6), функция Г в (15.12) есть функция взаимной когерентности, a q равно KrQd, имеем
г (z, pd, td) = г (г, q, td) I„-к • (15.13)
4 rP d
Рассмотрим угловой спектр (15.7). Полагая в (15.12) q = = q(cos ф'х + sin ф'у) и s = sin© (cos фх + sin фу) и выполняя интегрирование по ф', получаем
I(-z’ Q dq Jо (q sin 0)exp{ — p„a^[l — №0exp ( —^-)]} •
° (15.14)
Мы можем приближенно оценить (15.14) для случаев малых и больших оптических длин х = р„стг. Для малых оптических длин т < 1 приближенно имеем
Г (z, q, /d = 0) = /0exp { -x [l - В70ехр(-^-)]} ~
~/0ехр(-т)[Ц-т№0ехр(-^)]. (15.15)
Подставляя (15.15) в (15.14), получаем
I(z, 0) = Іде-' [б (0) + (apW0T/n) ехр (- ар sin2 0)]. (15.16)
Теория многократного рйссёяния и распрос+ранениё импульсОб S3
Здесь первый член описывает когерентную интенсивность и совпадает с падающей волной (15.9), за исключением фактора ослабления ехр(—т). Второй член представляет некогерентную интенсивность; величина этого члена растет с ростом т, а угловая ширина совпадает с угловой шириной характеристики рассеяния частицы (15.10). Заметим также, что поток F дается выражением
F(z)=J/(z, Q)ds = I0e-' [1 + W0t]. (15.17)
Это первый член разложения в ряд полного потока
F(2) = /0exp(— p„(Taz) =/0 exp [— т(1 —Wa)\. (15.18)
Рассмотрим теперь случай больших оптических длин т 1. В этом случае мы можем приближенно записать
Г(2, q, /d=0)«/o{exp(—т)+ехр[—т(1 —Г0+^0<72/4ар)]}. (15.19)
Заметим, что в этом приближении первый член дает когерентную интенсивность, а второй — некогерентную интенсивность. Следует заметить также, что при q оо (15.14) сводится к когерентной интенсивности, причем приближение (15.19) с этим согласуется, поскольку при q оо второй член в (15.19) обращается в нуль.
Подставляя (15.19) в (15.14), получаем
I (z, 0) = /0е~т6 (0) + /о (ap/W0t) exp {—т (1 — W0)—[(ар sin2в/й^от]}.
(15.20)
Это выражение описывает уширение углового спектра некогерентной интенсивности, которое оказывается пропорциональным z'h [см. также (13.27)].
Рассмотрим теперь частотный спектр (15.8). Для случая плоской волны из (15.12) имеем
оо
W (z, а>) — 2 ^ Г (z, td) exp (mld) dtd,
(15.21)
Г 0г, /„) = /о exp [- т { 1 + exp [- 4^^) ] }] ’
где U — поперечная по отношению к оси z компонента скорости частицы, а А дается в пояснении к выражению (15.11).
Рассмотрим в качестве примера случай, когда скорость частицы постоянна, а флуктуации скорости отсутствуют (А = 0). В этом случае имеем
Г (г, td) = /0 ехр [- т {1 + Го exp [- {KrUtdYj4ар]}]. (15.22)
54
Глава 15
Сравнивая это выражение с (15.15), замечаем, что если скорость частицы постоянна и имеет поперечную по отношению к z компоненту U, то пространственная функция когерентности Г (г, q) = Г(г, Кгра) (15.15) совпадает с временной функцией когерентности (15.22), если положить ра — Uta-
Г (г, pd) = Г (z, U/d). (15.23)
Частотный спектр W{z, со) из (15.21), где А = 0, можно вычислить для случаев малых и больших оптических длин. В первом случае, используя (15.15), получаем
W (z, со) = /0ехр(—т)
где сос = KrU/aJ2. В случае большой оптической длины т 1, используя (15.19), находим
W (г, со) = /01 4л6 (со) ехр (—¦т)+(4я1/2/сос) ехр
(15.25)
где сос = (KrU) [(тИ7о)’/2/ар2]- Первые члены в (15.24) и (15.25) соответствуют когерентному полю, поэтому в них отсутствует уширение по частоте. Действительно, наличие дельта-функции б (со) означает отсутствие отклонений от несущей частоты. Вторые члены в (15.24) и (15.25) описывают связанное с некогерентным полем частотное уширение.
15.4. Ограничения на разрешение изображения, налагаемые случайно распределенными рассеивателями
Предположим, что плоская волна, распространяющаяся через облако случайно распределенных рассеивателей, наблюдается посредством формирующего изображение приемника, такого, как линза или параболическая антенна. В отсутствие рассеивателей в фокальной плоскости изображение описывается функцией Эйри. В данном разделе мы рассмотрим влияние рассеивателей на это изображение.
Рассмотрим линзу с круговой апертурой диаметром 2а, которая фокусирует падающую на нее плоскую волну в фокальной плоскости на расстоянии f (рис. 15.1). Пусть i|)(z, р') —падающая на линзу волна. Поле ^(р) в фокальной плоскости дается формулой Кирхгофа
4я6(со) + 4rW°n 2 ехр[ -^г ) I’ (15.24)
К)]
4>,<P) = -k S 4>(Z, i>W, (15.26)
$
Теория многократного рассеяния и распространение импульсов 55
где s — площадь круговой апертуры линзы, а г — расстояние между точкой на апертуре и точкой в фокальной плоскости:
f = 1(х' - х? + (у' - у)2 + /Т*. (15.27)
При этом ф в (15.26) есть дополнительная фаза, которая вводится фокусирующей линзой.
<х',у)
А
і
Рис. 15.1. Падение плоской волны, проходящей облако случайно распределенных рассеивателей, на фокусирующую линзу диаметра 2а с фокусным расстоянием /.
Используем приближение Френеля
