Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
части, причем одна из них подчиняется диффузионному уравнению и
удовлетворяет тому же граничному условию, которое использовалось в
диффузионном приближении. Этот вопрос рассматривается в гл. 9.
Глава 13
Приближение для больших частиц
Во введении к гл. 12 описаны два предельных случая, допускающих
относительно простые решения. Один из них, когда размеры частиц
много меньше длины волны, называется случаем изотропного рассеяния;
он рассмотрен в гл. 12. В данной главе мы обсудим другое приближение,
соответствующее случаю частиц с размерами, много большими длины
волны. Такое приближение оказывается полезным при изучении
распространения оптических и акустических пучков в воде и атмосфере,
где размеры частиц часто значительно больше длины волны.
Задача о распространении волн в случайном облаке больших частиц
тесно связана с задачей о распространении волн в сплошной случайной
среде с большим радиусом корреляции. По существу, распространение
оптического излучения в турбулентной атмосфере можно описывать
аналогично тому, как это делается в данной главе. Мы обсудим эту
аналогию ниже (см. также [71]).
13.1. Вывод дифференциального уравнения в
малоугловом приближении
Если размеры частиц много больше длины волны, то волна
рассеивается частицами главным образом в пределах малого угла вблизи
направления вперед, поэтому возникает возможность упрощения
уравнения переноса. Уравнение переноса (7.24) вместе с (7.25) можно
записать в виде
s • grad I (г, 5) = - рсг,/ (г, s) +
+ \р(1 50/(г, s') da' + е (г, 5). (13.1)
4л
Запишем (13.1) в декартовых координатах, используя обозначение г =
хх + УУ + 2Z, где х, у и z - единичные векторы соответствующих
направлений. Единичный вектор s выражается через направляющие
косинусы /, т, п:
5 = /x + my + ttz, 03.2)
Приближение для больших частиц
259
где /2 + т2 + п2 = 1, причем в сферических координатах (0, ф) I -
sin0cos</>, m = sin 0 sin </>, " = cos0,
а дифференциал dl dm, который мы обозначим через ds, связан с
дифференциалом телесного угла dw соотношением
ds = dl dm = cos 0 sin 0 dQ df = ndсо. (13.3)
Выберем ось z так, чтобы излучатель и приемник были локализованы
вблизи точек (х = 0, у = 0, z = 0) и (х = 0, у = 0, z - L) соответственно.
Поскольку рассеяние ограничивается областью малых углов вблизи
направления вперед, приходящая к приемнику рассеянная волна
направлена в основном вдоль оси z. Это означает, что угол 0 должен
быть всегда малым. Поэтому можно использовать следующее
приближение. Так как угол 0 мал, положим п = cos 0 " 1. Далее, хотя
пределы интегрирования по I и т ограничены условием I2 + т2 ^ 1, без
существенной ошибки их можно распространить до ±оо;
оо оо
^ da ^ S dm=^ds, (13.4)
4я - оо - оо
поскольку основной вклад в лучевую интенсивность соответст- вует
области малых |/| и \т\, а вклад от больших |/| и \т\ пренебрежимо мал.
Кроме того, будем считать, что фазовая функция р(s, s') зависит только
от разности s - s'.
Используя эти приближения, запишем (13.1) в виде
-¦ / (z, р, s) -{- s * V,/ (2, р, s) =
оо
= - РrPtl (z, Р, s) + ^ р (s - s') / (z, р, s') ds' + e (z, p, s),
(13.5)
где
Г = ХХ + yy + 2Z = p + 2Z, Vt = -^X +J^y, s = lx + my.
Здесь плотность числа частиц мы обозначили через р", чтобы избежать
путаницы с радиальным вектором р.
Граничное условие можно выбрать вблизи излучателя при 2 = 0:
/(0, р, s) = /0(p, s). (13.6)
Уравнение (13.5) вместе с граничным условием (13.6) дает полную
математическую постановку задачи.
260
Глава 13
В качестве примера рассмотрим коллимированный пучок с гауссовой
амплитудой и поперечным размером W. Лучевую интенсивность при z -
0 можно получить следующим образом. Как будет показано в гл. 14,
функция взаимной когерентности Г(рь Р2) есть фурье-образ от лучевой
интенсивности / (р, s):
Г (Рь р2) = Г(р, pd) =(и(р1)ц*(р2))= ^ I (р, s)exp (iks • pd)rfs,(13.7)
k2 Г
1 = ) T exp iks ' d9d'^ (13.8a)
где p = '/2(pi + P2), Pd = Pi - P2, a "(pi) и и(p2) - значения поля в точках
pi и р2 соответственно. Используя это и замечая, что для
коллимированного пучка при г - 0
и (р) = "о ехр (- р2/2Ц72), (13.86)
получаем следующее выражение для лучевой интенсивности кол-
лимированного пучка при z - 0:
/0(р, s) = (k2W2I0jn) ехр (- р2/1Гг - k2W2s2), (13.8в)
где полная мощность Pt есть
Pt= $1"(р)12Ф = ^ ^°(р' s)dsdp = nW2I0, /0 = |"о12. (13.8г)
13.2. Общее решение
Общее решение уравнения (13.5) можно получить с помощью
преобразования Фурье1). Применим к (13.5) преобразование Фурье по
аргументу р. Обозначим через 1\ фурье-образ от I по р:
оо
/1 (гг, и, s)= ^ / (г, р, s) ехр (гх • р) dp, (13.9а)
- ОО
оо
I(z, р, s) = -(2^p- 5 s)exp(- ы • p)dx.
(13.96)
- оо
В результате получим
(-37 - IS • и + Р"<т<) h (z, *, s) -
00
- ^ р (s - s') 11 (z, x, s')ds' - E(z, x, s) = 0, (13.10)
•) Вместо этого можно использовать метод характеристик для линейных
дифференциальных уравнений с частными производными [156]. '
