Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
помощью уравнения переноса, используя только две переменные -
расстояние г и угол 0. В противоположность этому общая задача с
произвольным возбуждением и произвольной средой требует для своего
описания уравнения, зависящего
а
Рис. 11.1. Диффузное отражение и
прохождение (а) и закон затенения (б)
для плоскопараллельной среды.
б
Плоскопараллельная задача
225
от пяти переменных: х, у, z, 0 и ф. Точное решение, выраженное через
известные функции в замкнутом виде, не найдено даже для задачи с
двумя переменными.
В данной главе мы опишем метод, основанный на квадратурной
формуле Гаусса ([31], гл. II и III), который позволяет легко получить
численные решения на ЭВМ. При этом решение дается в виде ряда,
точность которого возрастает с ростом числа его членов. Другое решение
в виде ряда, использующее полиномы Лежандра, обсуждается кратко в
разд. 11.6. Рассматриваемую задачу можно также сформулировать в виде
интегрального уравнения, основываясь на "принципе инвариантности" и
"инвариантном погружении". Эти вопросы изложены в превосходных
учебниках [2, 12] и здесь не рассматриваются.
11.1. Нормальное падение плоской волны на
плоскопараллельный слой
Рассмотрим плоскую волну с потоком мощности Fо, падающую
нормально на слой толщины d (оптическая толщина то = = рotd; рис.
11.2).
X
Рис. 11.2. Геометрия плоскопараллельной задачи и углы (0, Ф) для лучевой
интенсивности.
Будем исходить из уравнения переноса ~ds S) = ~ Pg*7 ^ + \р & (r)')7(г>
s') do/. (11.1)
4Я
Заметим прежде всего, что, поскольку геометрия задачи и падающая
волна не зависят от х и у, интенсивность /(г, s) есть функция только от г
и 0. Уравнение (11.1) удобно переписать, используя оптический путь т =
potz в направлении г. Разделим также лучевую интенсивность на
ослабленную интенсивность In
226
Глава 11
и диффузную интенсивность Id• Ослабленная интенсивность для
коллимированного падающего потока Fо равна
In (г, s) --- F.e" jis^6e- -- F&-4 (р- 1)6 (Ф), (11.2)
где р = cos 0, элемент телесного угла равен da - sin 0 dQ d<j> =
=- d[id<t>, а дельта-функции определяются условиями
'п
J 6(0) dQ= 1,
0
1
^ 6 (ц - 1) d\x - 1,
-l
2л
0
Подставляя / = Irt -f- Fi в (11.1) и используя (11.2), получаем
дифференциальное уравнение для Id( г, s )=/Дт, р):
.. dld{т, р) , , , , _
Р ~Т ' d (т, Р)
1 2л
= 4^г ^ с1$'р{\1, ф; р', ф')1а(т, р/) + -Р~^л-- F0e~T,
-1 О
(П.З)
где = po^s cos 0. Для того чтобы исключить отсюда зависимость от ф,
проинтегрируем (11.3) по ф от нуля до 2я, что дает
Р d'Aj}J±+,d (х, Р) =
1
= j 5 o'pVo(Р, рОЛДт, р') + ^Мр, 1)/Д?_т, (11.4)
-1
где
2л -2л
/?о(Р, Р')= 2^Г S Iх''
о о
Дифференциальное уравнение (11.4) является основным уравнением,
определяющим /Дт, р), и вместе с граничными условиями составляет
полную математическую постановку задачи. Если среда, содержащая
частицы, представляет собой вакуум или свойства этой среды совпадают
со свойствами окружающих
6 (0) = 0 при 0 ф О,
6 (р - 1) = 0 при р ф 1,
6 (</>) = О при ф ф 0.
Плоскопараллельная задача
22т
сред (г ¦< О и г > d), то граничное условие при т = 0 заключается в
отсутствии диффузного излучения, распространяющегося в
положительном направлении:
Д (0, р) = О для O^p^I, (11.5а)
а при т = то - в отсутствии диффузного излучения в отрицательном
направлении г:
о.Р) -О Для - 1<!р<!0. (11.56)
При наличии на границах т = 0 и т = то отражения условия (11.5а) и. (11.56) нужно модифицировать, включив коэффициенты отражения и пропускания. Но в данной главе мы огра
ничимся случаем простых граничных условий (11.5а) и (11.56).
11.2. Типичные фазовые функции
Прежде чем приступить к решению плоскопараллельной задачи,
полезно описать некоторые типичные фазовые функции. Простейшая
фазовая функция отвечает изотропному рассеянию:
р(р, ф; р', ф') = ро (р, u') = Wo = ~ = альбедо. (11.6)
Для непоглощающих частиц, размеры которых малы по сравнению с
длиной волны, в случае неполяризованной падающей волны применима
фазовая функция Рэлея
р(р> Ф', Р'. Ф/) = ^(^ + cos'2у). (11.7а)
где у -угол между направлениями (р, ф) и (р', ф'), определяемый
условием
cos у = cos 9 cos 9' + sin 0 sin 0' cos (Ф - ф').
Интегрируя (11.7a) по ф и ф', получаем
Ро(р, p')=j[l+pV2 + y(l-p2)(l-^2)]. (11.76)
Полезное и общее выражение для фазовых функций дается
разложением в ряд по полиномам Лежандра ЛДр) = Рп (cos 0). Если
рассеяние симметрично относительно направления падающей волны, то
фазовая функция зависит только от у, и ее можно выразить в виде ряда по
функциям Лежандра:
оо
рф. Ф> р'> Ф') = Р (cos y) = ? WnPn (cos y). (11.8a>
"-0
228
Глава 11
Используя известное разложение [75]
П
Рп (cos у) = Рп (Р) Рп (**') + 2 ^ Р" (р) К (|*0 cos т(ф- ф')
и интегрируя (11.8а) по ф и ф', получаем [см. (9.12а) и (10.19)]
где Wo - альбедо частицы.
Отметим, что во всех рассмотренных только что примерах
выполняется соотношение симметрии
Ро Ф, М-0 = Ро (МЛ М) = Ро (- М" - (-0 == Ро (- М-'. - И-).
