Источники и приемники излучения - Ишанин Г.Г.
ISBN 5-7325-0164-9
Скачать (прямая ссылка):
Удельный тепловой поток q (в Вт/см2) связан с облученностью Е через коэффициент поглощения ku:
qmax — Етзх^п- (7.13)
Выражение (7.12) с учетом (7.13) будет
q ~ ?ц?ша* cos (2яft). (7.14)
Температура полупространства приемника в этом случае также меняется по гармоническому закону, так как уравнение (4.11) линейно, а теллофизические характеристики приемника считаем постоянными, т, е.
v(x, t) == twe~ ^cos (2n/f --у/'к[/аих+ ф), (7.15)
где ф — возможный фазовый сдвиг из-за изменения граничных условий.
Из закона теплопроводности Фурье известно, что
q = —Ki dv (х, i)/dx, (7.16)
где ли — коэффициент теплопроводности кристаллического кварца в направлении, перпендикулярном к оси Z. Производная от х от выражения (7.15) для теплового ноля
230
Или, подставляя (7.17) в (7.16), получим:
q = ЯииШах \/ е V 0,1 * X
г “11
X sin \2nft — х + Ф + х) • (7-18)
При х — 0, согласно (7.14), q = Emaxfen cos {2nft), следова-
тельно, с учетом (7.18) при х = 0:
knEm*z cos (2nft) = ЯцОгак |/ sin ^2я/* + ф + -j-). (7.19)
Отсюда можно получить выражение для vmax при ср = я/4
«шах = ]/-|gr • (7.20)
Подставляя значение Vaax в уравнение (7.15) для теплового поля с учетом того, что ср = л/4, получим
(7.21)
В последнем выражении множитель е- ^^ца11х cos (2лft — — -j/nf/anx + я/4) характеризует температурное поле в приемнике. Из анализа множителя следует, что в любой момент времени распределение температур в приемнике получается в виде волны, амплитуда которой уменьшается с глубиной, в соответствии с экспоненциальным множителем е— который при
х -*¦ оо стремится к нулю. Скорость распределения температурой волны V' находят путем деления длины волны на полный период колебаний температуры. Длину волны определяют из равенства аргумента косинуса нулю в выражении (7.21):
2 nft — -\f nf/ацХ = 0.
Для t — 0 х — 0; для t — 1/f х = Хгепл, т. е.
^тепл = * \t=vf =¦ 2 V nauff =2 /¦ nanZ, (7.22)
где Z — l/f — продолжительность полного колебания температуры. Тогда
V' = 2>/ nan/Z = 2>Лиал/-
231
Связь между нестационарной составляющей теплового поля и механическим напряжением в кварцевой пластинке можно найти через термоупругий потенциал перемещений F\
дЧ' , №F , d*F \+ц , ,,,
____ + -^-4--^- - r=f^(x, У> г, t),
где а и |% — коэффициенты линейного расширения и Пуассона. .Для одномерного теплового поля
д*Р!дх% (1 + апа (дс5 t)I{\ ~~* И-5- (7 23)
Из определения термоупругого потенциала перемещений
дуу - —2G д*Р/дх\ (7.24)
где вуу — термоупругое напряжение; G — модуль сдвига.
Подставив выражение (7.21) в (7.23), а (7.23) и (7.24), получим
Д гг _____ ЬпЕшлх (1 +- |l) 1/ а1
Xu (1 — ju.) у '2п[
i_ 1 / .V
Г 2я/ Х
х е * cos {2лft — 1/ —- х
\ * ,!и
4 ! '
Зная поле термоупругих напряжений, определяем поле поля- ' ризации кристалла кварца. В данном случае необходимо зычи-
S’
слить только одну составляющую поля поляризации Рх:
(1ц®УУ Т“ ;<J*; i'-yZ'
где dn и d14, — пьезомодули кварца. Если учесть одномерность поля термоупругих напряжений, то
Ъ . г1 Гг 2/гп?ша> (1 -f- ft) Gaudn s / au ч
Их -"di,a”=-" - и)— i-' w x
X e ^ °ч cos (2nft — 1/ x -(- ~ i.
\ ' ^ an ! 4 /
Напряжение V между обкладками плоского конденсатора, состоящего из термоупругого элемента из кристаллического кварца X -среза,
где е — диэлектрическая проницаемость кристаллического кварца; h — толщина кварцевой пластинки;
, _ 8я(! f p.) fiosijdu
eAu(i—ц)
Обозначив 8 — —]/ а --- 2n(t -+- найдем
* аи 4
h
kiknEmgy J cos (fiz -+- a) d*
у ,= ...--------------------------, (7,25?
T/2 f?
Интеграл выражения (7.25) можно взять яо частям, тогда ,, и и г icos № + '*•'+ a)l — (cos а + sin а)
1 ti~m« - 2VW
С учетом того, что
?2i2d^!R« ,, cos 4- cos - - sin ~J~ sin a - cos - Ц.
имеем
eehcos ($h + а - —-) — cos [a --
C°S [ r
kiknEva&y.Q\\ '
H
i (2JT/0 - exp {—¦ I/ ft) cos j 2nft — ]./ ft)
\ » ! v r “11 /
2л/
I exp Г- \f ^ *) cos[]/jL ft]| X
X cos (2л:ft) — exp j — 1/ h) X
\ * an J
an
h j sin
flu
X sin / "j/" h I sin (2л ft)
2-л/
kk F а Л slfl Ш + ф) (7 2b)
K i^n-C max“n 2я/ ' ‘
где
A~
y^exp^ 2 \'Г h) — 2 exp(^ -- \f cos (]/ |U) + i
C0S(V —*) —е*р(}/' "Й-M
tg ф - -------------=- ч
iv7-—a
\ » «I! '
sin
233
В окончательном выражении (7.26) для амплитудно-фазочастотной характеристики сомножитель 1// характеризует нарастание электрической разности потенциалов на ПТЭК с уменьшением частоты на холостом ходу, что присуще тепловым приемникам. Сомножитель в числителе искажает идеальную частотную характеристику Ilf холостого хода ПТЭК.
Так как RyT > 1012 Ом, им можно пренебречь. Модуль комплексного напряжения в этом случае
|V.«| = | VnP12я/Я„Спр//1 + InYRlxW»* + Clpf, (7.27)
а фазовый сдвиг от реакции электрической цепи Фэ = arctg {1/[2яfRBX (Свх + Спр)]},
С учетом формул (7.26) и (7.27) получим следующее общее выражение для вольтовой чувствительности:
ехр (_2 ^|f *)-2 exp (-/g hjcos (^hj+l
1/2
5[1 + 4яУ^х(Свх + Спр)2]’/2
где k = kiВ — площадь приемной площадки. В полученном выражении отсутствует множитель 1//, так как в данном случае спад частотной характеристики апериодического звена первого порядка RBX (Свх Спр), складываясь с ростом интегрирующей характеристики Г1ТЭК, обеспечивает равномерность чувствительной характеристики в широком диапазоне. Вольтовая чувствительность с уменьшением площадки увеличивается. Это справедливо до d : h = 10 : 1, так как при меньшем соотношении диаметра пластинки и толщины появятся поперечные деформации, уменьшающие дуу. Площадь ПТЭК из условия максимальной вольтовой чувствительности следует брать Вт1п — 10
