Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
четырехмерном пространстве, нумеруемых индексом а, называют тетрадой.
Квадрат длины вектора dr, очевидно, равен dr2 = (eiej)dxldx^. С другой
стороны, это не что иное, как ds2 = gijdxtdxT Отсюда ясно, что
ёч = (e*el) = eieja- (3-8)
Элемент объема dV, построенный на векторах eidx1, e2dx2,... выражается,
как известно, через определитель Грама:
dV = yjdet (eidx1 ej dxl)
18
Глава 3. Основы римановой геометрии
(здесь нет суммирования по г, j), или
= yjdet(gjj) dx1dx2 ... dx11 = у/gdx1dx2 ... dxn. (3.9)
В ОТО, где g = det^jj-) < 0, элемент объема равен
dV = y/^g dx1 dx2 dx3 dx4. (3.10)
(3.10)
Задачи
3.1.1. Является ли вектором координата х11.
3.1.2. Доказать прямым расчетом, что скалярное произведение двух векторов
AlBi - инвариант. Доказать то же самое для A^Bij.
3.1.3. В евклидовом пространстве ковариантные тензоры не отличаются от
контравариантных, они преобразуются при поворотах одинаково. Какому
свойству матрицы поворотов соответствует это совпадение?
3.2. Ковариантное дифференцирование
Дифференциал вектора dAt(x¦?) = Аг(х+ dx^) - Аг(хJ") - это разность
векторов, взятых в двух разных точках. Поскольку в криволинейных
координатах в разных точках пространства векторы преобразуются по-разному
(дх1 /дх к в (3.2) - функции координат), то теперь, в отличие от случая
евклидовых координат, dAl вектором не является. Чтобы обобщить понятие
дифференциала так, чтобы он стал вектором, надо сначала перенести вектор
Аг(х^) параллельно самому себе в точку х? + dx4 Обозначим его изменение
при этом параллельном переносе через 5А1. Вот теперь разность DA1 = dA1 -
6А1 является вектором.
Величина 8Аг должна быть линейной не только по dx^, но и по самому
вектору Аг. Последнее ясно из того, что сумма двух векторов
3.2. Ковариантное дифференцирование
19
тоже вектор. Итак, 8Аг можно представить в виде
б А* = -rkjAkdxj ,
(3.11)
гl,jk - gli^jk ¦
(3.12)
Скаляры, в том числе и скалярные произведения векторов, при параллельном
переносе не меняются. Поэтому из S (AiB1) = 0 следует
Поскольку БАг, БАг и dx- векторы, то выражения в скобках в этих формулах
являются тензорами. Эти тензоры,
называют ковариантными производными векторов Аг и Аг. Разумеется, в
евклидовых координатах Г]у = 0 и ковариантные производные совпадают с
обычными.
Поскольку трансформационные свойства тензоров второго ранга такие же, как
у произведения векторов, то легко получить следующие выражения для
соответствующих ковариантных производных:
Bi8Ai = -AiSB1 = AiTikjBkdxj , или, в силу произвольности В%
SAi = rkjAhdxj .
(3.13)
Таким образом,
DA* = dA1 + TikjAkdxj = (djAi + Г^Ак) dxj , DAi = dAi - ГkjAkdxj = (djAi
- ГkjAk) dxj.
?f + r iiAk,
(3.14)
(3.15)
Ail;j = djAil + rkjAkl + TlkjAik-
(3.16)
20
Глава 3. Основы римановой геометрии
лг - я.4* I г* 4*_г*4*. Al-,j - иЗл1 + 1 kjAl 1 Члк1
Au-j = djAn - Т%АЫ - Г* Aifc .
(3.17)
(3.18)
Обобщение на тензоры произвольных рангов очевидно. Заметим, что для
скаляра ковариантная производная совпадает с обычной.
Поскольку индекс, означающий ковариантную производную, тензорный, то его
можно поднять с помощью контравариантного метрического тензора, получая
таким образом т. н. контравариантную производную. Например,
Как преобразуются коэффициенты Г*, при переходе от одной системы
координат к другой? Сравнивая законы преобразования левой и правой частей
уравнения (3.14), находим:
Отсюда ясно, что коэффициенты ведут себя как тензоры лишь по отношению к
линейным преобразованиям координат, в этом случае неоднородное слагаемое
в правой части исчезает.
Заметим, что это неоднородное слагаемое в правой части (3.19) симметрично
по i,j. Поэтому антисимметричная по i,j комбинация Sfj = Г^- - Г%
преобразуется по закону
и, следовательно, является тензором. Skj называют тензором кручения
пространства.
В силу принципа эквивалентности геометрия нашего пространства-времени
обладает замечательным свойством: тензор кручения равен нулю.
Действительно, в локально-инерциальной системе координат пространство ОТО
не отличается от плоского, от пространства Минковско-го. Иными словами, в
этой системе все коэффициенты Г*", вместе со своей антисимметричной
частью Skp обращаются в нуль. Однако поскольку Sfj - тензор, то,
обращаясь в нуль в некоторой системе координат, он равен нулю
тождественно, в любой системе. Пространства, в которых тензор кручения
равен нулю, называют римановыми. Для координат и тензоров риманова
пространства мы используем греческие
pfc р'г дх>г дх'т дх'п д2х'г дхк
ii т.п ъ и г, 1 г, л 4" г, 1 г, 1
г, /
ч тп дх'1 дх1 dxi dxldxi дх'г
(3.19)
,И дхк дх'т дх'п
тпдх'1 Эхi дхз
3.3. Снова символы Кристоффеля и метрический тензор
21
индексы. В римановом пространстве не только = Г*", но и, разуме-
Задачи
3.2.1. Доказать соотношение (3.19).
3.2.2. Сколько независимых компонент имеет Г"д?
3.2.3. Пусть задана локально-евклидова система координат в точке хг = 0.
Доказать, что преобразование
оставляет систему координат локально-евклидовой. Вычислить
