Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
устойчивости вторичного происхождения (см. п. 3.4г), которые появляются,
вообще говоря, лишь в узких интервалах значений параметра М. Сравнение
теоретической границы устойчивости us с численными данными для
отображения (3.4.6) в широком диапазоне значений М проведено на рис.
3.15. Дана также граница стохастичности иь, соответствующая первой снизу
инвариантной кривой 1).
г) Как сейчас известно (см. [70], § 5.1 и гл. 4 ниже), граница
стохастичности 7иь да 2us при М > 1, что не противоречит численным данным
на рис. 3.15. По поводу отклонений при М ~ 10 см. [70, § 6.2] и конец п.
4.26.- Прим. ред.
232
Глава 3
* 3.4г. Бифуркации
Рассмотрим теперь более подробно, как изменяется характер движения в
окрестности эллиптической точки при ее превращении в гиперболическую. На
рис. 3.16 показан результат 100 ООО итера-
ций отображения (3.4.6) при М -иг = 14/3, ^i = 0 значение us =
10,0 -]
9,0 -
8,0-
7,0-
u
6,0-
5.0
111111!
4.0 -3,5
3.0
2>5 к .................................
-гг 0
Рис. 3.16. Фазовая плоскость (и, для отображения (3.4.6) при М - 14.
Внутри самого нижнего островка устойчивости произошла бифуркация
неподвижной точки (см. рис. 3.18).
= 14. Для неподвижной точки 4,68947>и1. Поэтому следует ожидать, что эта
неподвижная точка должна быть неустойчивой. Она действительно оказывается
гиперболической точкой с отражением, но соседние траектории не
соединяются с основной стохастической компонентой движения. Последняя
отделена от гиперболической точки вместе со стохастическим слоем ее
сепаратрисы замкнутыми инвариантными
кривыми, которые имеют форму "гантели" (см.
Рис. 3.17. Линии неподвижных точек для инволюций отображе-, ния (3.4.6)
при М =14.
Отображения и линейная устойчивость
233
рис. 3.18). При этом внутри сепаратрисы имеются две периодические точки
периода 2, которых не было при us<,u1. Топология фазовой плоскости на
этом малом масштабе в какой-то степени похожа, хотя и не полностью, на
глобальную топологию, в которой инвариантные кривые окружают отдельные
периодические точки или изолируют друг от друга сепаратрисы.
Чтобы найти положение только что описанных периодических точек периода 2,
запишем отображение (3.4.6) в виде произведения двух инволюций /х и /2,
как это было сделано в п. 3.36. Линии неподвижных точек инволюций 1г и /2
определяются выражениями (3.3.38) и (3.3.39) и показаны на рис. 3.17. В
частности, неподвижные точки 12 определяются выражением
и== ^ . (3.4.19)
(яр 4 пт)
Используем теперь результат п. 3.26, устанавливающий связь между
неподвижными точками с периодом k = 2 и k = 1. Если
обо-
значить
1 Ш - , ф), (3.4.20)
\ яр -j- пт /
то где
\ яр 4 л;
Тх - (и, ф),
пМ , . .
=----------------+ sin ф,
(ф 4 пт)
-¦ . 2пМ п
ф = ф -|---- - _ 2лт.
(3.4.21)
Чтобы и точка (и, ф) была неподвижной точкой инволюции / 2, необходимо
выполнение соотношения
^ = -!- Бтф. (3.4.22)
(пт)2 - ф2 пМ
При М - 14, т = 3, полагая sin ф " ф-ф3/6, получим ф = = ±0,23351, а и
определяется выражением (3.4.19). Эти периодические точки показаны на
рис. 3.18 вместе с сепаратрисой, которая имеет форму восьмерки и
принадлежит неустойчивой неподвижной точке.
Что же произойдет при дальнейшем уменьшении величины М, а вместе с ней и
Для выяснения этого вопроса заметим, что для и в уравнении (3.4.6а)
вблизи кривой /2 можно использовать выражение (3.4.19). В результате
получаем одномерное отображение
234
Глава 3
ип+1 {а ип^~ sin л т j . (3.4.23)
Такие отображения естественно возникают при изучении диссипативных систем
и подробно описаны в § 7.2. Мы покажем там, что с уменьшением М
происходит целый каскад последовательных би-
ис. 3.18. То же, что на рис. 3.16 внутри устойчивости области.
Светлые кружки - устойчивые точки периода 2; треугольник - неустойчивая
неподвижная точка с сепаратрисой (сплошная кривая). Цифры показывают
последовательность движения по сепаратрисе (ср. рис. 3.10, б).
фуркаций устойчивых периодических точек с периодами 2 4 ->
-> 8 16 и т. д. Этот процесс продолжается, пока М не достигнет
некоторого предельного значения, ниже которого все траектории
Отображения и линейная устойчивость
235
становятся неустойчивыми. В работе Лихтенберга и др. [72] подробно
описано поведение периодических точек k = 2 с изменением М, включая
бифуркацию 2 -> 4. Общая теория бифуркаций гамильтоновых систем
обсуждается в дополнении Б.
* 3.4д. Уравнения Гамильтона
Подобно тому как непрерывное движение динамической системы можно описать
разностными уравнениями на поверхности сечения Пуанкаре, физическую
задачу, сформулированную в виде отображения, можно представить в форме
уравнений Гамильтона. Это позволяет использовать методы усреднения и
резонансной теории возмущений, рассмотренные в гл. 2. Как показано в п.
3.1в, разностные уравнения можно преобразовать в дифференциальные с
помощью периодической б-функции (3.1.33). В случае отображения
(3.4.6) получаем
du __________
I¦¦
dip 2л М
Yj ехр (t 2яп1) sin тр, (3.4.24а)
