Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
произвольную точку в пределах растянутой области и продолжим растяжение
области, пока не увидим структуру следующего масштаба. В этом новом
масштабе значительно меньшая часть площади будет стохастической, и
вероятность выбранной точки попасть на инвариантную кривую существенно
возрастает. На каждом следующем масштабе доля стохастической области
будет экспоненциально уменьшаться, а вероятность попадания произвольной
точки на инвариантную кривую будет быстро стремиться к единице. Тем не
менее всегда существует конечная вероятность попадания и в стохастическую
область. Если это случилось, то все последующие растяжения будут
обнаруживать уже только стохастические траектории.
* 3.2г. Численный пример
Исследования нелинейной динамики (в том числе и методом сечения Пуанкаре)
путем численного интегрирования уравнений Гамильтона очень трудоемки,
поскольку шаг интегрирования должен быть много меньше характерного
периода движения. В отличие от этого прямое итерирование заданного на том
же периоде отображения может быть легко выполнено на сотни тысяч периодов
и дает в существенных чертах ту же картину движения, что и уравнения
Гамильтона. Такие отображения интенсивно использовались в различных
исследованиях нелинейных колебаний. В § 3.4 мы рассмотрим этим методом
задачу об ускорении Ферми [126]. Здесь же проиллюстрируем некоторые
обсуждавшиеся выше особенности на примере квадратичного отображения
поворота, исследованного Хеноном [185]:
( х,\ ( ха\ ( Xncosib-(у0-Xo)sinib
\ = Т = . Т 7° У . (3.2.40)
V Ух J \ У о / V *0 Sin 1)5+ (г/о-хо) cos тр J
где = 2яа0, а а0 - число вращения соответствующего линейного отображения
поворота (3.1.9).
Вблизи начала координат, которое является эллиптической точкой
отображения, нелинейный член х\ мал. На рис. 3.6, а и б воспроизведены
результаты Хенона для г|з = 76,11°. На рис. 3.6, а виден первый главный
резонанс с а = 1/5, что соответствует углу поворота 72°. Следовательно,
нелинейность в данном случае замедляет вращение. Исследование отображения
в окрестности гиперболической точки этого резонанса приводит к любопытной
картине, представленной на рис. 3.6, б. Видны вторичные и третичные
резонансы, а также хаотическая траектория (длиной в 50 ООО
Отображения и линейная устойчивость
205
1,0
0,5
У 0
-0,5
-1,0
-1,0
0,200
0,175
У 0,150
0,125 -
0,100
-0,5
0,5
1,0
7/:/я
Л !,-/Л л v (U
•VVr'A- >ч "'>Т ^
0,525
0,550
0,575
0,600
Рис. 3.6. Траектории отображения Хенона (3.2.40) при а0 = 0,2114 (по
данным работы [185]).
а - первый целый резонанс на пятой гармонике; б - увеличенный участок
фазовой плоскости вблизи сепаратрисы целого резонанса. Видны вторичные и
третичные резонансы.
206
Глава 3
итераций), заполняющая некоторую область вблизи гиперболической точки. На
рис. 3.7 показаны осцилляции сепаратрисы, соответствующей Н~ на схеме
рис. 3.4. Данные получены численно Катхиллом и представляют 146 итераций
короткого отрезка сепаратрисы вблизи гиперболической точки.
Многие регулярные особенности структуры отображения на рис. 3.6 можно
получить аналитически. Мы вернемся к этому во-
Рис. 3.7. То же, что на рис. 3.6, б для а0 = 0,1845 (по данным работы
[26]).
Сплошная линия - одна из сепаратрис.
просу позже, поскольку такие вычисления более естественно проводить после
исследования устойчивости периодических траекторий, которому посвящен
следующий параграф.
§ 3.3. Линеаризованные уравнения
В принципе периодические точки отображения периода k можно находить
непосредственно из условия, что после k-й итерации
Ткх 0 = х0. (3.3.1)
Отображения и линейная устойчивость
207
Однако при больших k эти вычисления становятся слишком трудоемкими.
Вместо этого можно исходить и прямо из гамильтониана. Уравнения, которые
надо при этом решать, соответствуют периодическим траекториям и их можно
записать на поверхности сечения в виде
где вектор х = (р, q). В общем случае решение этих уравнений можно найти
лишь в форме рядов [116].
После того как периодические точки отображения найдены, можно исследовать
их устойчивость в линейном приближении. Это делается следующим образом.
Полагая х - х0 + Ах и сохраняя только линейные по Ах члены, получаем
уравнение вида
где А - матрица, не зависящая от Ах.
В предыдущием параграфе было показано, что малые возмущения интегрируемой
системы приводят к возникновению последовательности чередующихся
эллиптических (устойчивых) и гиперболических (неустойчивых) точек. Об
этом говорят, в частности, численные данные, приведенные в п. 3.2г.
Однако в случае больших возмущений топологические соображения В уже
неприменимы и в принципе все периодические точки могут быть
неустойчивыми. В случае неинтегрируемых гамильтоновых систем линейная
устойчивость является, по-видимому, необходимым и достаточным условием
для нелинейной устойчивости 2) в том смысле, что первая гарантирует
существование инвариантных торов достаточно близко к периодической
траектории 3).
