Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
46
Глава 2
Замечание. До сих пор мы определили отображение Пуанкаре на сечении 2,
которое было достаточно мало *>, т. е. мы рассматривали траектории
системы, близкие к исследуемой замкнутой траектории. Отображение Пуанкаре
можно строить
и в более общей ситуации, когда исследуется глобальное поведение системы.
В этом случае в качестве сечения 2 мы выбираем обычно всю гиперплоскость
или ее часть, находящуюся в изучаемой области фазового пространства (см.
п. 5.9.2).
2.3.3. Орбитальная устойчивость решения
Понятие устойчивости решения имеет в теории бифуркаций основополагающее
значение. Существует множество разных определений устойчивости, наиболее
известными среди которых являются устойчивость по Ляпунову и орбитальная
устойчивость. Для стационарных решений устойчивость по Ляпунову и
орбитальная устойчивость означают одно и то же. Для нас важно более
подробно познакомиться с понятием орбитальной
*> В частности, предполагалось, что изучаемая траектория у пересекает
2 только в одной точке. - Прим. ред.
2.3. Бифуркации периодических решений
47
устойчивости решений, и в частности, орбитальной устойчивости
периодических решений.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
х = f (х), xeR" (2.3.3)
и пусть <рх(0-ее фазовый поток. Пусть х(/) = <рХо(0- решение уравнения
(2.3.3), а у(х0)-траектория этого решения. Прежде чем давать определения,
введем некоторые обозначения.
Рис. 2.29. а) Орбитальная устойчивость. Ь) Асимптотическая орбитальная
устойчивость.
Расстояние между точками х, yeR" будем обозначать р (х, у). Если McR"-
некоторое подмножество и а е Rn, то расстояние точки а от множества М
определяется формулой
Р (а, М)= inf р(а, х).
Решение х (t) = q>Xa (/) системы (2.3.3) мы называем орби-тально
устойчивым, если для всякого е > 0 существует б > О, такое что верно
следующее утверждение: если р (у (х0), у0) < б,
48
Глава 2
то p(v(x0), q>yo(0)<e при всех t > 0. Или, более наглядно: траектории,
которые начинаются вблизи траектории не слишком отдаляются от нее при
любых t > 0 (см. рис. 2.29а).
Решение Ф*о(0 называется асимптотически орбитально устойчивым, если оно
орбитально устойчиво и, кроме того, выполняется соотношение
lim p(v(x0), <Py"(0) = 0.
<-*+оо
Мы будем говорить также об орбитальной устойчивости траекторий.
Итак, если решение <рХо (t) асимптотически орбитально устойчиво, то
всякая траектория системы (2.3.3), начальная точка которой лежит
достаточно близко к траектории у(хо). неограниченно приближается к этой
траектории при f-v-f-oo (см. рис. 2.29Ь).
Замечание. Замкнутую асимптотически орбитально устойчивую траекторию мы
называем устойчивым предельным циклом.
2.3.4. Элементы теории Флоке
Напомним теперь некоторые факты, касающиеся линейных неавтономных систем
с периодической правой частью (с периодическими коэффициентами).
Итак, рассмотрим систему
х = А(*)х, xgR", (2.3.4)
где матрица А(^) есть непрерывная периодическая функция переменной t, т.
е. для нее выполнено соотношение
\(t + T) = \(t), (2.3.5)
где Т > 0 - период.
По определению регулярная (невырожденная) матрица U (0 представляет собой
фундаментальную матрицу системы дифференциальных уравнений (2.3.4), если
выполнено условие
U (/) = А (0 U (/).
В дальнейшем мы будем рассматривать только стандартные фундаментальные
матрицы, для которых U (0) = 1.
Теорема Флоке утверждает следующее.
Стандартная фундаментальная матрица системы (2.3.4) имеет вид
U(0 = P(0^R, (2.3.6)
2.3. Бифуркации периодических решений
49
где R - постоянная матрица и Р(/)-регулярная периодическая матрица с
периодом Т, для которой выполняется условие Р(0) = I, и следовательно,
Р(kT) = I при 4eZ.
С помощью фундаментальной матрицы (2.3.6) общее решение системы (2.3.4)
можно представить в виде
ф {t, х) = Р (0 e*R • х, (2.3.7)
где, очевидно,
ф(0, х) = х.
Матрица
U (Г) = Р (Т) erR = erR (2.3.8)
называется матрицей монодромии. Собственные числа матрицы монодромии
называются мультипликаторами системы (2.3.4).
Если система x = A(i)x имеет периодическое решение ф (t, хо) с периодом
Т, то
ф(7\ х0) = х0, т. е. U (Т) х0 = х0. (2.3.9)
Из формулы (2.3.9) вытекает, что матрица монодромии имеет в этом случае
собственное число, равное+1.
Система (2.3.4) обладает периодическим решением с периодом Т в том (и
только в том) случае, если матрица монодромии имеет собственное число,
равное + 1.
Обратимся теперь к вопросу об устойчивости нулевого решения системы
(2.3.4). Критерий его устойчивости формулируется с помощью
мультипликаторов.
Критерий устойчивости нулевого решения
Пусть pi, р2, ..., рп-мультипликаторы системы (2.3.4). Если |р<1^1, i=l,
2, ..., п, то нулевое решение системы
(2.3.4) является устойчивым по Ляпунову!). Если же |р,|<1, i - 1, 2,
..., п, то нулевое решение данной системы является асимптотически
устойчивым, т. е. для любого решения х(/) имеет место соотношение
lim х (t) = 0.
00
2.3.5. Уравнения в вариациях
Рассмотрим снова автономную систему
х = f (х), xgR". (2.3.10)
