Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
К I =-----2- [/аП (Л) + (Сх + 2C2fi)],
ViV
так что наряду с (25) задание удельной потенциальной энергии стержня
должно удовлетворять неравенству
Isr(h)<-v2(C1+2C,vt). (26)
§ 17. Безопасное нагружение. Полулинейный материал
Предполагается, что удельная потенциальная энергия деформации задана, как
функция инвариантов Ik (V) тензора V = F1/=, Далее обозначаемых Гк (k= 1,
2, 3)
э = э(п, /;, /;). (1)
Имеют место соотношения
/:г-2/;=/х, -/;/'+2/;2=/2, /за=/3, (2)
372 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
из которых легко получить таблицу производных
2Dj?-у;, +=о,
2Ж~и 2°Ж = ,'у 1л"°- <3>
о dli Jj_ art d/2 _ /1 о d/3__
2 а/з - /з ' ^ 3/, - /з ' а/з /з '
причем
D=nn-n. (4)
Обратившись к формулам (4.2.5), получаем
дэ , т, дэ \ , 1 ,, дэ
1 3
^<';--/;)(++/:+)Ч|г. <3>
и представлению (4.2.4) тензора напряжений Коши придается вид
тЧр /I [WE+(/;•- /" f - Р] (++/; ?) +
+ j/I(/;lrE-lrF)- №
Заменив здесь F2 по формуле Гамильтона - Кэли F2 = V4 = (If - /;) V2 -DV
+ Д/'Е, после подстановки в (6) получим
= |/-?(^е+ф;у + ф^2). (7)
Выражения фг повторяют формулы (4.2.5)
г, дэ дэ , ,, дэ ,, дэ ,ц\
Фо - -^з ~туг . Ф1 - -г + h ~туг > Ф2 - ~туг , (6)
а/3 a/i dh dl2
но в представлении (7), аналогичном (4.2.4), отсутствует мно-
житель 2.
Для полулинейного материала по (5.5.4)
э - -г (^ + 2р.) Д -(ЗК -2уь) /х • 2|т/2 + -н- (9А + бр) (с0
§ 17] БЕЗОПАСНОЕ НАГРУЖЕНИЕ 373
и по (8) и (7)
Фо = 0, ф( = %(/[ - 3) - 2р; = _ 2р;
UI2
7= ]/ f\[l(l[-3)-2]i]\ + 2^}, (Ю)
причем представление Т, конечно, согласуется с (5.5.5).
Повторив вычисление (4.5.2) в применении к представлению (7) тензора Т,
имеем
т=-tv-w + УX№v + ^F)+ У f (ф;е + ф;у + ф;у2) =
= _TV.W+ у -||"^VwT-V+V-Vw--2^^^^-fteft-e-esefte^+
2 2
2 Vill ?^rVrV"..e(w).
-- 2
+ ^(VvvT-V2 + V2-Vw) '
Г=0 X = 0
Были использованы выражения (1.11.10) и (1.10.11) тензоров V, F -- (V2)1;
(1 лт выражаются через фг по формулам (4.5.5). Полученное выражение
преобразуется теперь к виду
f= -TV vv + VwT T + T- Vw-2 У -J(^e(w) +
2 2
+^ 22 УУгк •8 (w) • е леЛ+2 У it 2 ¦8 ('w)
s k S J Г=0 N = 0
и по (4.5.8) приходим к представлению тензора 0
0 =
= T-Vw -2 У[ф;е(№) + ф(2И(^р^е^8(и,),еЛе
+
2 2
-2 /-f L Е -8(w). (11)
Г = 0 Л' = 0
Квадратичная форма 0-Vwr, положительность которой гарантирует безопасное
нагружение, приобретает вид
0- •VwT=TVw- • VwT-2 Уf[ ФЛ (е2)+Ф(211^(ег8-е,)2
+
+ 2 У ? 2 2 W1(v^-e)/1(vr-e). (12)
N=0Г=0
374 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
Первое слагаемое оценивается формулой (15.4) и применение критерия
(15.11) приводит к неравенству
Н /
1, (е2) dV > 2 У U; f j J h (в2) dV +
s k I/
(13)
Введя здесь, вместо (15.4), обозначение v для максимального из трех
главных значений тензора V, имеем
VfVk ^ 1 / . 4^-1-
vs + vk 4 v s ^ 2
з э (Ш
L L 7^ (efc • 8 • es)2< 1 й/1 (е2)
S=1 6=1 5 ' п
и, усиливая неравенство (13), получаем
(/С+ 1)((Т - ст3)< У\V - Фо)- (15)
Для полулинейного материала по (10) эта оценка приводится к виду
(К + 1)(о-о3)< У|-.ц|ЦД-3)-2р| (16)
и, конечно, сохраняется задача проверки знака квадратичной формы
C(elt е2, е3) = 2 |/ [\>u/f (V • е) + й22Д (F • е) +
+ 2%/1(V-8)/1(F.e)] (17)
(так как И0г = 0, Г -0, 1, 2).
Для стержня, сжимаемого продольной силой, в обозначениях гл. 8, § 13
имеем
ф( = 7. (2Sj - б) - 2р, |ф(| = 2р(1-f v6),
У-j = (1 +v6)2(l - б), ц=1+уб
и безопасное нагружение представляется выражением
Q " с <-7 2ц(1-|-уб)250 .
§ 18. Несжимаемое упругое тело
В несжимаемом упругом теле удельная потенциальная энергия-функция
инвариантов Д, /2
э=э{1г, /2) (1)
$18] НЕСЖИМАЕМОЕ УПРУГОЕ ТЕЛО 375
и формулами (2.3) задаются "определяемые величины" (обозначаемые индексом
Е).
Представление потенциальной энергии записывается в виде
lK?(R + Tlw)-r?(R) = iir]?+^2r2i?. (2)
Здесь
^1B=SSSTH--VwTdVr-JSJp0k-wd7-SS f° wdO, (3)
V У о,
= JН ^ ^ Т Щ • VwT dV (4)
я по (2.11)
Чв= ^ Т?- • Vw • Vwг + 2 [ф2Д ((F • е)2) + Д (F • е) +
+ ^22/2(F2-8) + 2{]12/1(F.8)/1(F2-8)]. (5)
Здесь Т/.: -определяемое напряжение
Т? = 2(Ф1Р+Ф2Р2), (6)
а фг и {]дт (N, Г=1, 2) задаются формулами (4.3.5), (4.5.5). Тензор 0?,
определяемый по (2.10), линейно выражается через Vw
0? = (,p?)v'w:=T?-'Vw + 4 {ФзР-е-Рф Дц/j (F-e) F +
+ Д22/х (F2-8) F2 + +2 [ Д (F2• 8) F + Д (F • 8) F2]}. (7)
Уравнение связи
1 /.* (R ||WI - K7+R) = о
при учете квадратичных по г| слагаемых по (1.12.5) представляется
формулой
Т)Д (е) +Y - VwT- • VwT] = 0 (8)
и после умножения на р-\-1/гцр' и интегрирования по объему, преобразуется
к виду
wdV + у г)2 (p'V- w - pVwT- • VwT)dV =
У У
= Tl(/pN-wdO - JJJw'Vpdv'Wyr|2 Jj* p'N • wdO \ о у / [о
- JJj*(w-Vp' -f-pVwT- • VwT)dO
у
Слагаемое
pit (e)dV = ^ $ V-(pwV- w)dV - $ И w< V (pV- w)dV =
v v v
= J J pN ¦ wV -wdO - j j j w • V (p-Vw)dV
о
0. (9)
376 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
не включено в (9), так как V-w = 0 с точностью до членов порядка г)2 -
оно не внесло бы вклада ни в уравнение статики, ни в краевые условия.
Вычитая (9) из (3), (4), приходим к представлениям
