Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
здесь формулы лишены отчетливости и симметричности, присущих соотношениям
§ 6. Последние предпочтительно применять в общих построениях, когда
доведение до конкретных вычислений отодвинуто на второй план.
§ 8. Преобразование Гаусса - Остроградского. Преобразование Стокса
1. Предполагается ^известной теорема Гаусса-Остроградского в форме
Зф das
v о
Здесь do - da1 da2 dx3 - элемент объема v, do - этемзнт ограничивающей
его поверхности, ns-проекция на s-io ось декартовой системы нормали п,
направ-
- dv = J J nsq> do. (1)
16 А. И. Лурье
482
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
ленной вовне v. Функция ф (а1, а2, й:1) предполагавши непрерывной и
ограниченной вместе с ее частными производными первого порядка в
•замкнуто!! области о+о.
Объем v может содержать внутренние полости, направление л может не
пытывать разрывы на кривых поверхности о; пример - ребра параллелепипеда
*) Простейшим обобщение?,! формулы (1) является соотношение
= (niCl + n2C2-[-nsc3)do-^ ^ n-c do, (2)
О О
связывающее интеграл по объему дивергенции вектора ус с потоком век горл
п*с через ограничивающую поток поверхность.
Заключенное в (2) правило замены набла-опера'тра в объемном интеграле
вектором л в поверхностном распространяется па другие соотношения,
поскольку в конечном счете все сводится к исходному преобразованию (1).
Например,
S S S = nXcefo, ^ ^ ус dv = J ^ nc do, \ ^ ^ ус Tdp= J J cn do, (3)
V О V и V о
Аналогично в применении к тензору
\-Qdv^^\ n-Qdo, 5$$ VAQdc=.= ^ nXQdo. (4)
VO V
Частое приложение найдут формулы, основанные па соотношениях (3.7),
(3.10) ^ 5 (rXn-Q) do= - ^ (n-QK г do - ^ ^ [(V-Q)>r-[- 2о"] dv =
[(rXvQ) -2со] do, (о) ^ n-Q-a do= ^ ^ y(Q-a) do - ^ 5 5 f(V• Q) • а + Q-
• Vaтj dv. (0)
0 V V
В формуле (5) через (о обозначен вектор, сопутствующий
кососимметрич-
ной части Q. Для симметричного тензора
Q -- QT: ^ (rXn-Q)do=^S trXV-Q)&'. О"
О V
2. Преобразование Стокса. В объеме с задан замкнутый контур Г, епо
димый непрерывным преобразованием в точку, пока он не выходит за огра
ничивающую этот объем поверхность. Например, речь может идти о контурах
внутри параллелепипеда, об области, ограниченной извне и изнутри сфера
ческими поверхностями. На контуре строится поверхность о ("шапках), зе
ключенная в v.
*) Точные формулировки достаточных уел >зий выполним >сгя ппеобразо-вания
Гаусса - Остроградского приводятся в книгах по теории потенциала.
§8] ПРЕСЕРАЕСВАЕИЯ ГА УССА-ССТРОГРЛДСКОГО И СТОКСА 483
Пусть а - векторное поле в v, непрерывное вместе с первыми производными.
Рассматривается циркуляция (линейный интеграл) по Г
С - ^) dr-a
г
(dr - векторный элемент на Г, | dr [ - ds). Обход по контуру
предполагается происходящим в положительную сторону вокруг принятого
направления нормали к поверхности "папки"*). Преобразованием Стокса
устанавливается равенство
ф" dr-а а-dr-^ n-(vxa) do= ^ (пчу)-а^о (8)
I' г о о
- дпрк\ляция вектора равна потоку его ротора через поверхность "шапки".
При рассмотрении циркуляции тензора следует различать произведения иа dr
слева и справа
<? dr-Q, ? Q-dr= ? dr-QT j J j
г
и преобразование Стокса принимает вид
? dr-Q = ^ (nXv)-Q do, ф Q-dr = ^ (л-v)-QT do. (9)
Го Го
В этих записях содержится правило замены стоящего слева в линейном
интеграле вектора dv на n><v^° в поверхностном. Оно является следствием
равенства
(j) das ф (а1, а2, а2) - esttin j j пт do, (10)
Г о
на котором основывается вывод преобразования Стокса. Например,
ф isdas cp = ? dr ф = is ^ j п,п ^ do --г г о
= j j hrdhn х in do =- j j п X V<P do,
• и О
что и требуется. Применение этого правила позволяет дополнить формулы (8)
и (9) соотношениями
(j) dr а - ^ (nXy) a do, j) drxa = ^ (nXV)Xa do- J J (n-vaT-nV-a) do.
Vo Г о о
(П)
*) В правой (левой) системе осей положительное направление обхода
происходит против часовой стрелки (по часовой стрелке), если глаз
наблюдателя помещен в конце п.
16*
484 ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Например, как следовало ожидать
у j) rxdr^ - у ^*Хг=у JJ (ny-r - n-vrT) do =
О О
Поверхность "шапки" назначается произвольно. Поэтому при равенстве нулю
циркуляции
чАА чАА чАА
(j) dr-a = 0: vxa = 0, а = у<р, ^ dr-a = dr-y<p = ^ ^Ф = Ф"" ~"Ф.л0 О2)
I чАА Q чАА^ м0
линейный интеграл по кривей не зависит от выбора этой кривой, а
определяется только координатами конечной и начальной точки на ней -
разностью потенциалов в этих точках.
Аналогичные соотношения для тензора второго ранга имеют вид
чАА чАА чАА
фdr-Q-0, yxQ- 0, Q=ya, ^ dr-Q- ^ dr-ya da- aM - aMii,(l3)
Г чАА ^ чАА 0
чАА ч^А чАА
(j) Q-dr = 0, yxQT = 0, Q = yaT, ^ Q-dr=^ yaT-dr=^ da--
1 M0 чАА q iAAq
(14)
3. Двусвязный объем. В двусвязном объеме имеются замкнутые контуры,
назовем их Д-контурами, сводимые непрерывным преобразованием
друг
к другу, но не сводимые в точку. Таковы осевая линия тора,
контур в объ-
еме между двумя коаксиальными цилиндрами, охватывающий внутренний
цилиндр. Двусвязный объем можно превратить в односвязный с помощью
