Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
является адиабатическим инвариантом и считается постоянным (см. п. 2.36).
Если В и Ф не зависят явно от времени, то дрейфовое движение можно
описать с помощью автономного гамильтониана с двумя степенями свободы. В
этом случае вместо времени удобно использовать в качестве независимой
переменной величину s, причем ds/dt=v^, где скорость связана с
интегралами движения Е и ц соотношением
*,1= (^-)1/2(?-рВ)'/2, (6.4.14)
а Е - полная энергия частицы. Получаемые в результате уравнения
дрейфового движения аналогичны уравнениям магнитной линии, описанным в п.
6.4а.
Нерезонансный дрейф. Рассмотрим сначала случай, когда дрейф вызывается
градиентом магнитного поля. Если магнитные поверхности симметричны по <р
(см. рис. 6.20), то сила F перпендикулярна магнитной поверхности и
скорость дрейфа vD, согласно (6.4.13), направлена по касательной к
магнитной поверхности. Однако магнитное поле в системах с тороидальной
геометрией типа левитрона или токамака не обладает такой симметрией, что
приводит к радиальной составляющей дрейфа частиц. Масштаб времени такого
дрейфа обычно велик по сравнению с временем оборота вокруг большой оси
тора. Поэтому в пренебрежении резонансами высоких порядков радиальный
дрейф можно описать автономным гамильтонианом с одной степенью свободы,
который является интегрируемым.
Дрейфовые траектории существенно зависят от отношения ох/Оц. В случае Уц
<§( v± частицы оказываются захваченными в некоторой области (по ф и if) с
наружной стороны тора и совершают дрейфовые колебания, не попадая в
область более сильного магнитного поля с внутренней стороны тора.
Проекция этого движения на плоскость ф = const имеет форму "банана" (ср.
рис. 6.22,а). Амплитуда радиальных колебаний (при ср = 0) имеет порядок
Ar~{R/a)%L/i, (6.4.15)
где pL - ларморовский радиус частицы. Подобные траектории для захваченных
частиц существуют и в других магнитных полях и не зависят от резонансов
между движением по ф и по if (подробнее см. в [389]).
Дрейфовая поверхность пролетных частиц х) повторяет форму
*) Пролетными называются частицы, которые совершают полный оборот вокруг
малой и большой осей тора, т. е. по ф и ф. Для поля токамака, например,
граница между пролетными и захваченными частицами соответствует скорости
v || " v (2r/R0)x^ при ф = 0.- Прим. ред.
394
Глава 6
магнитной поверхности, отклоняясь от нее на расстояние порядка Pt/i.
Можно сказать, что дрейфовой поверхностью в этом случае является просто
слегка возмущенная магнитная поверхность.
Дрейфовые резонансы. Если обе функции В и Ф зависят от <р и ф, то для
пролетных частиц возможны резонансы. Однако из-за того, что скорость
дрейфа пропорциональна р^, размер дрейфовых резонансов мал по сравнению с
размером резонанса самих магнитных линий при том же возмущении магнитного
поля. Если же присутствует статическое электрическое поле, например, с
потенциалом вида
ф = ?ф тпеНтч-^\ то возникают дрейфовые резонансы независимо от
возмущения магнитного поля. Возмущенный дрейф описывается в этом случае
системой уравнений вида (6.4.10), причем амплитуды возмущения &Атп сс
р/,Фт". Брамбилла и Лихтенберг [39] получили для пространственной
полуширины резонанса выражение, аналогичное
(6.4.12):
Аг = 2 / еФтп ---------^-У/2, (6.4.16)
\ Т a di/dr / где Т - температура в энергетических единицах.
Диффузия в статических полях. Хотя размер резонанса (6.4.16) может быть
велик по сравнению с амплитудой нерезонансных колебаний (6.4.15), именно
последние определяют обычно внешнюю диффузию в статических полях. Причина
этого состоит в следующем. В статическом случае положение резонанса (по
г) определяется условием (оф/(о,|, = dq>/dty = п/т и не зависит от Оц или
р. Внешняя диффузия за счет столкновений между частицами с изменением о и
и р относится поэтому к типу, рассмотренному в п. 5.56. Конечно, если
дрейфовые резонансы перекрываются, то скорость диффузии определяется
глобальной стохастичностью движения. Однако такое перекрытие возможно
лишь в исключительных случаях, так как размер резонансов зависит от
малого ларморовского радиуса (6.4.16). Поэтому в дальнейшем мы
пренебрежем внутренней диффузией. Правда, резонансы несколько усиливают
диффузию даже в отсутствие перекрытия, однако средняя скорость диффузии
меняется при этом незначительно (п. 5.56).
В отличие от дрейфовых резонансов нерезонансные колебания захваченных
частиц (6.4.15) существуют везде. Рассеяние частиц изменяет их в( и р и
может переводить частицы из захваченных в пролетные, и наоборот. В
результате частицы смещаются по ра' диусу. В зависимости от частоты
столкновений возможны три ре' жима диффузии.
1. При низкой частоте столкновений захваченные частицы смещаются, в
среднем, на величину Дг [см. (6.4.15) за время пере-
Многомерные колебания
395
хода их в пролетные вследствие диффузии по v г Поэтому скорость
радиальной диффузии в этом режиме пропорциональна частоте столкновений.
2. При промежуточной частоте столкновений захваченная частица переходит в
