Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
механики, поскольку в случае A=G класс 2JlcG'v(G) совпадает с классом
ковариант-ных наблюдаемых 2J?oG,v(G).
Пример. Рассмотрим квантовую систему с положительным гамильтонианом
Н. Представление t^Vt = e^iHt группы временных сдвигов не удовлетворяет
условиям предложения 2 предыдущего пункта, поскольку Ac=R+. Поэтому
ковариантной наблюдаемой временного сдвига не существует0. Предположим
для простоты, что A=R+ и что спектр Н однороден (т. е. имеет постоянную
кратность для п. в. ХбА). Тогда Н унитарно эквивалентен оператору
умножения на X в гильбертовом пространстве Ж=Ь^{Я+) квадратично-
интегрируемых функций ф= =[г|з(Х)] на R+ со значениями в некотором
гильбертовом пространстве Ж. Ковариантные обобщенные наблюдаемые класса
SDl*,v (R) с точностью до калибровочного преобразования (3.7)
эквивалентны наблюдаемой Мс, определяемой соотношением (3.8), т. е.
<г|>|ЛМЯ)Ф> = $ J <1>(*)|Ф (*')>#$ *i(V-*)T-?- (3.14)
R+R+ В
Разложение единицы Мс является обобщенной спектральной мерой в смысле
[2] максимального симметричного (но не самосо-
На трудности с определением наблюдаемой времени в квантовой механике
указывал Паули (см. Handbuch der Physik.- 1958.- 5/1.- С. 60-63).
\ Ik (Я III \y(y' + y)\\dy'
-1
(3.12)
5*
67
пряженного) оператора . d_
' Ж
(* 1 /V 9
d'k < со
Т' = г4-1 ^)(7') = {'ф:'ф абсолютно непрерывна, лр(0) = 0,
Л<4
* я|>(Л)
Ж
R+
Минимальное расширение Наймарка разложения единицы
Мс в пространстве Ж = R) дается формулой, аналогичной
(3.14), с заменой R+ на R, и является спектральной мерой са-
d 2
мосопряженного оператора i Lyp (R).
3.6. Локализуемость. Пусть W - унитарное представление группы,
описывающей кинематику данной квантовой системы (универсальной
накрывающей группы Галилея в нерелятивистском или группы Пуанкаре в
релятивистском случае), в гильбертовом пространстве Ж и пусть U -
ограничение W на универсальную накрывающую G группы евклидовых
преобразований g : x-^-Ax-\-b, xGR3. Система называется локализуемой по
Вайтману, если в Ж существует ортогональное разложение единицы Е на 0-
алгебре ^(R3) борелевских подмножеств координатного пространства R3,
удовлетворяющее условию евклидовой ковариантности
Ug*E(B)UR=E(g-' В) - geG, Ве<8(R3).
При этом условии для любой области BdR3 найдется вектор состояния ijj
такой, что <т|з|?'(5)я|)>= 1, т. е. вероятность обнаружения системы в
области В равна 1. Для локализуемой системы определены совместимые
наблюдаемые координат
Qj = П SXjE (йххс1х-2с1хъ); /=1, 2, 3, (3.15)
ковариантные относительно евклидовых преобразований.
Используя то обстоятельство, что (U, Е)-система импримитивности,
можно доказать, что локализуемыми по Вайтману являются все массивные
частицы и релятивистские безмассовые частицы с нулевой спиральностью.
Безмассовые частицы с ненулевой спиральностью (фотон, нейтрино)
оказываются нело-кализуемыми (Ньютон, Вигнер, 1949, Вайтман, 1962). Такой
вывод не согласуется с экспериментальной локализуемостью фотона; более
того, как показал Хегерфельдт, такое понятие локализуемости приводит к
противоречию с требованием причинности в релятивистской динамике (см.,
например, [55]). Эти трудности снимаются, если в определении
локализуемости допускаются произвольные разложения единицы.
Неортогональное разложение единицы М, описывающее локализацию фотона,
было указано, в частности, в работах Крауса (в сб. [159]), А. С. Холево
[99]. Полная классификация соответствующих обобщенных систем
импримитивности, при дополнительном условии ковариантности относительно
преобразований подобия, включающая
68
характеризацию крайних точек, дана Кастрижьяно [71]. Релятивистские
безмассовые частицы оказываются приближенно локализуемыми в том смысле,
что sup <гЬ \М (В)г|з) = 1 для
|Ы>1\- 1
любой области ВсR3. Наблюдаемые координаты, определенные соотношением
(3.15), являются самосопряженными, но неперестановочными операторами и
поэтому не имеют совместной спектральной меры.
В ряде работ, обзор которых имеется в статьях Али, Пруго-вечки [55],
развивалась идея стохастической локализуемости в фазовом пространстве.
Результаты этих работ также указывают на то, что обобщенная
статистическая модель квантовой механики дает возможность, по крайней
мере, смягчить известные противоречия между релятивистской
инвариантностью и нело-кальностью квантовомеханического описания.
Глава 3
ЭВОЛЮЦИЯ ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЫ
§ 1. Преобразования квантовых состояний и наблюдаемых
Динамика изолированной квантовой системы, описываемая
однопараметрической группой унитарных операторов, обратима во времени.
