Квантовая вероятность и квантовая статистика - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(2.16) не обязано выполняться. Эти состояния широко обсуждались в
физической литературе под именем сжатых (squeezed) состояний (см.,
например, [140]). С математической точки зрения все эти состояния входят
в класс состояний, являющихся естественным квантовым аналогом гауссовских
распределений в теории вероятностей.
Пусть {Z, А}- конечномерное симплектическое пространство с
невырожденной кососимметричной формой А и z-*-W(г) -неприводимое
представление ККС в гильбертовом пространстве Ж. Характеристическая
функция оператора плотности S в Ж определяется соотношением
cp(z)=TrW(z); zeZ, (2.17)
и обладает рядом свойств, аналогичных свойствам характеристических
функций в теории вероятностей [43, гл. V]. В частности, аналог условия
положительной определенности имеет вид
2 еря (Zj - zk) exp y A (z;, zk) > 0 (2.18)
j,k
для всех конечных наборов {c,}czC, {z,}czZ. Состояние S называется
гауссовским, если его характеристическая функция име-
32
ет вид
<p(z) = exp [im\z)- -j a(z, z)J,
где m(z) - линейная, a a(z, z') -билинейная формы на Z. Это соотношение
задает характеристическую функцию тогда и только тогда, когда выполнено
условие
a(z,z)a(z', z')>|a(z, z')2; z, z'gZ,
непосредственно связанное с (2.18). Общее определение для
бесконечномерного Z было дано в [127]. В квантовой теории поля такие
состояния описывают квазисвободные (обобщенносвободные) поля и носят
такое же название. В статистической механике они возникают как
равновесные состояния бозе-систем с квадратичным гамильтонианом (см.,
например, [70], [51]).
§ 3. Составные системы
3.1. Тензррное произведение гильбертовых пространств.
Пусть Ж\, Ж2- гильбертовые пространства со скалярными произведениями < •
J • )j и < • | • )2. В множестве S' формальных линейных комбинаций
элементов г^Хфг^^чХ^г введем положительно определенную эрмитову форму,
полагая
<ф1Хф2К11Хф2> = <ф1|г1)1>1<ф2К12>2
и продолжая ее на 9? по линейности. Пополнение (факторизованного по
нулевому подпространству формы) пространства 9? является гильбертовым
пространством, которое называется тензорным произведением Ж\, Ж2 и
обозначается Ж\(r)Ж2. Вектор пространства Ж\(r)Ж2, соответствующий классу
эквивалентности векторов г^ХЧ'г6^, обозначается
Если Цз); /= 1, 2, то пространство Ж\(r)Ж2 =
= L2(Q1X?22, ^1X^2) состоит из всех функций ф(о)ь а2), квадратично
интегрируемых по мере Xм^г, причем вектор г[)1(r)г[)2
определяется функцией r]Ji (со 1) г^2 (оз2) ¦
Тензорное произведение операторов Хх(r)Х2, где - оператор в Ж),
определяется формулой
(Jt(r) Х2) (rjn(r)!^) =^1^1(r)^2'ф2-
Если Жj - конечномерные (комплексные) гильбертовы пространства, то
dim D(<Ж\(r)3ё2) - dim О{.<Ж\)dim О(3@2) ¦
Если же Ж, - вещественные гильбертовы пространства, то здесь имеет место
знак >, а для кватернионных .гильбертовых пространств (при некотором
разумном определении Жх&Жч), знак <¦ Это обстоятельство рассматривается
как косвенный
3-9280
;*зз
аргумент в пользу поля комплексных чисел в аксиоматической квантовой
механике.
Аналогично определяется тензорное произведение любого конечного числа
гильбертовых пространств Ж\(r) ... (r)Жп- В квантовой механике Ж\(r) ... (r)Жп
описывает систему из п различимых частиц. В статистической механике
приходится рассматривать системы неразличимых частиц - бозонов или
фермионов. В п-кратном тензорном произведении 2$(r)" выделяются два
подпространства: симметричное тензорное произведение Ж&п, описывающее
бозоны, и антисимметричное тензорное произведение Жап, описывающее
фермионы (в случае 3#=L2(?2, ц) первое состоит из симметричных, а второе
- из антисимметричных функций t|j((oi, . . . , (о") аргументов соь .. .,
. Системы из
переменного (неограниченного) числа частиц описываются про-
оо
странствами Фока: симметричным пространством Га(Ж) - 2Ф
п=О
(r)Ж5П в случае бозонов и антисимметричным пространством
Га(Ж) = Л (r)Жап в случае фермионов. В этих пространствах /2=0
действует специальное представление канонических коммутаци-онных
(соответственно, антикоммутационных) соотношений, связанное с процедурой
вторичного квантования (см. [6], [51], [70]).
3.2. Произведение квантовых состояний. Если S, - операторы плотности
в то Si(r)S2--оператор плотности в Ж\(r)Ж2,
причем
Tr (Si (r)S2) (Xi (r)Х2) = Tr StXi • Tr S2X2; Xfi(r) (2№t).
Операторы вида ^(r)I2, где XGЪ(Ж\), a I2 - единичный оператор в Ж2,
образуют подалгебру Ъ\С.Ъ(Ж\(r)Ж2), изоморфную %(Ж i). Формула
"'№(r)X2)=X1(r)(TrS2X^2)l2 (3.1)
определяет отображение <? из ^(Ж[(r)Ж2) на ^(Ж\), обладающее свойством
условного ожидания
EB(XY)=EB(3'(X)Y)-, Хт(Жх(r)Ж2), Ymu
