Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
пактным носителем и возьмем за У алгебраически сопряженное
пространство Е*. Для любой h(f)^E введем сглаживание
xh=^dth(t)x(t) (5.13)
и рассмотрим подмножества пространства Е* вида С hr, Д*") = {* (0
е= Я' :(*v ...,д:к;)еВй}, (5.14)
где / - произвольное натуральное число, h\, ..., hi - элементы Е, а
В(;) - борелевское подмножество в R'. Подмножества такого вида
называются цилиндрическими.
Интегралы вида (5.10) - (5.12) оказываются корректно
определенными для таких цилиндрических подмножеств. Тогда 2
может быть отождествлена с сг-алгеброй, порожденной этими
множествами, и, по теореме Ленарда [9], Р( • \W, /0),
оо
Ft"(¦) и /(/,, to, •) однозначно продолжаются на ? или
t-
11 ti
гДе 2 есть cr-подалгебра, порождаемая цилиндриче-
t о t о
скими подмножествами с пробными функциями с носителем из
интервала (/0, Ч).
Процесс квантового измерения
213
Чтобы показать существование интегралов (5.10) - (5.12) для
цилиндрического множества, воспользуемся соответствующей
плотностью. Так, в случае уравнения (5.12) мы можем написать
p(c{hx hr, B<l>)\W, t0) =
= \ dxx ... dxip(xu hr, xt, ht\W, t0), (5.15)
B<0
где
p{xu hr, xt, ht\W, to) =
= пт Srf|i0u(o]<: ni^-xo-pdi, t0-, noim- (5.ш)
Правая часть уравнения (5.16) легко вычисляется с помощью
формализма фейнмановского интеграла по траекториям. Мы можем
написать
^<7ь t\ Техр^- ^^dt{x{t) - <?(/))2j|?0> t^ =
и
= jj фу, [q (/)]? exp jj dt [iL (q (t), q (t)) -^-(x(t)-q (/))2], (5.17)
to
где L(q, q)- классический лагранжиан частицы, a
\q, t) = etRt\q) (5.18)
обозначает собственные векторы <?(/)• Далее,
[<7(0]<о = lim (-2^Y12 П dq(xs), (5.19)
N-*oo ' *nlnb / s_j
где
q(to) = qo, q(ti) = qi. (5.20)
Подставляя (5.17) в (5.5), a (5.5) в (5.16), мы приходим
к выражению, содержащему следующий интеграл:
1 [и
jj d\iG [х (/)]<; Д 6 (*s - Xhs) ехр j - jj dt [(х (/) - q (t)f +
s=l ^ to
+ (*(0 - q' (0)2]] = Jim (^)W/2 5 Д dx(T,)X
X П 6 (xs - e ? hs (Ту) x (Ту)) exp {- ^ ? [(* (ту) - q (Ty))2 +
5=1 \ /="! / V, / = 1
214
Дж. М. Проспери
+ (*(Т,) - ^(Т,))2]} = ?-•/. (^-)//2 X
X ехр -у Yj (xs ~ Qs) (Xs> ~Qs') -
¦" ss'
U
-±\dt(q(t)-q'(t)f
to
где
^1
Qs = -L J dths (t) (q (t) + q' (0), (5.22a)
to
и
gss' = ^dths(t)hs>{t), g = detgs.s'. (5.22b)
to
Используя этот результат, имеем окончательно
р(хь hp, х2, h2\ ...; xh ht\W, (Q) =
= lim I dqodq'odqidq'ibiqi - q[) (q0, /0| W | q'0> /"> X
t, -^ oo J
X 5 dVF [q {t)]u 5 d^F X
X^1/2(^)iexp
+ \dt[i(L(q, q) L (q1, q')) - -f (q - q'f]J . (5.23)
Это выражение является корректно определенным и конеч
ным. Аналогично можно рассмотреть и правые части формул
(5.10) и (5.11). Заметим, что тройка
{Е, 2~, P(-\W, t0)} (5.24)
образует обобщенный случайный процесс [12], [13]. То, что процесс
оказывается обобщенным, видно из того, что при замене hs(t) на
дельта-функцию б (t - 4) диагональные матричные элементы gss
обращаются в бесконечность и правая часть уравнения (5.23) теряет
смысл.
Назовем тройки
{Е\ 2Т" FtS ')} и {Е\ St f{ib /0; ¦)} (5.25)
соответственно тестзначным случайным процессом (т. з. с. п.) и
операционнозначным случайным процессом (о. з. с.п.). За
| Y 2 (Xs Qs)gss'(Xs' Qs') +
I SS'
(5.21)
Процесс квантового измерения
215
метим, что если бы мы вычислили правую часть (5.12) для множества,
определенного соотношениями
a(t)^x(t)<b(t), (5-26)
(что можно сделать, используя уравнение (5.17)), то она окажется
равной нулю. Это отражает тот факт, что соотношение (5.26)
налагает несчетное множество ограничений, и не вызывает
удивления в свете теории обобщенных случайных процессов.
6. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ФУНКЦИОНАЛ И
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР
Введем характеристический функционал, соответствующий
функциональной плотности вероятности (5.5) по формуле
G(tu t0; [КО] \ W) =
= jj d\iQ [*(/)]? p(fb t0; [*(/)] \W) • exp j\' jj df|(/)*(oj. (6.1)
to
В терминах этого функционала конечномерные плотности
выражаются по формуле
р(хи h{; ...; xh ht \ W, /0) =
= \dva[x(t)]l-^r\dkl ...dk,X
Xexp[-/? ks dths (t) x {t)j j p(tb to, [x (0] I W) =
5=" 1 t0
= dki ... dkfi ^1( to, Y kshs(t)^ X X exp f - i YJ . (p-2)
' s = l '
а моменты находятся по формуле
(x(t')x(t") ... x(t<">)) =
4=0
бid'ma")... (#<n>)
или
=/г 5 it dt-.:. dm, "о .../>" (<") •
(6.3a)
4=0
(6.3b
)
216
Дж. М. Проспери
Характеристический функционал в свою очередь может быть
выражен через характеристический оператор, имеющий ряд
привлекательных свойств. Определим его соотношением
9{tu to. [?(/)]) =
= ^ dVa (*)]? / (0> to, [х (/)])ехр ^ ^ dtl (t) х (/)J , (6.4)
так что
G(tu t0; [1(/)]|Г) = Тг{^(/ь /0; [!(/)])#}• (6.5)
Из уравнения
11
j) dpa [х ехр ^ dt | - [(х (/) - q (t)f +
+(x(t)-q'(tm + mx(t)} =
ti
- exp ^ d/[- -j(?(/) - q'(t)? +
+ jUt){q{t) + q'{t))--^-i4t)] (6.6)
получаем явное выражение
= ( "'</.' /"FI <o) 5 ["],': ,<
x 5[?']<! exp 5dt {1 iL (?¦ ~L (?'• ?')] -
*0
-i(^-^)2 + 4^^ + /)-^r^2}- (6.7)
Заметим, что
