Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
= Ttl(Vu • (x (r) I) • Vt,) = Tt, (Vu) • Vt, ¦ (x (r) I) • Vu ¦ Tu(Vt,\
откуда следует Vt,+t2= Vtt ¦ Ttt(Vt2) в силу инвариантноотп
/I o\ /о о\
элементов I О / И VO I J относительно {Tt)t s R ([8], 3 1.4,
см. также (5.14). Поэтому, t->V*t является слабо ¦-непре
рывным унитарным левым коциклом для (РДеК. Поэтому Ad Vt ¦ Tt
является поточечно слабо "-непрерывной группой "-автоморфизмов
системы (51, ф), оставляющей инвариантным каждый элемент алгебры
51 (r) I. Отсюда следует, что
Ad Ut -Tt = Id5i (r) at для некоторой группы автоморфизмов о,
системы т).
Таким образом, мы нашли непрерывную обратимую ди-
намическую систему ('g', т, о*), и из свойства коцикла для (K()(eR
является поточечно слабо "-непрерывной группой циклом для группы
автоморфизмов (at)tsR. Из свойства расширения мы видим, что т(vt) =
e~at для 0, откуда следует свойство (а). Как в доказательстве
утверждения (А), мы видим, что минимальность Й влечет а собой
условие (Р). Наконец, те же рассуждения, что и п^и доказательстве
утверждения (А), показывают, что 51[0, <*,) = 51 (r) <F[0, =0) и 51(_00,
о] = 51(r)^-со. оь откуда Р(_со,о] = Idm (r) Q(_co, 0]. Поэтому, для
данного х е оо), I (r) х является элементом 51[0, ",> и из марковского
свойства получаем
I (r) Q(-00, oi(x) = P(_co, oi(I (r) х) = Р[01 (I (r) х) - I (r) т(х) • I,
откуда следует (у). ¦
Примеры марковских расширений над 2 X 2-матрицами 175
используя v't : = - T)J[ ¦ • vt вместо vt. Поэтому (а) по суще-
ПРИМЕЧАНИЯ
(1) . Мы доказали теорему для непрерывных расширений,
но такие же рассуждения годятся и для дискретных расши-
рений.
(2) . В условии (а) можно опустить требование т(щ)е R,
x(vt)
ству является условием нормировки.
(3) . Если заменить условие (а) условием (а'):т(vt) = = e~at и
опустить (у), то получится структурная теорема для необязательно
марковских расширений. Эта теорема полностью описывает
расширение системы (Я, <p, Tt) в терминах свойств обратимой
динамической системы (<S',x,ot), причем (а) отражает свойство
расширения, (|3) свойство минимальности, а (у) марковское свойство
расширения.
В [8] мы получили дискретные расширения путем построения
расширения первого порядка, которое затем продолжалось до
марковского расширения. Это не имеет аналога в непрерывном
случае, и доказанная теорема может рассматриваться как
подходящее обобщение. Расширение первого порядка заменяется
коциклом (щ), как видно из рассуждений в разд. 2.
4. МАРНОВСНОЕ РАСШИРЕНИЕ (ДЛЯ Щ, ср, Tt)
В разд. 2 мы показали, что бериуллиевский сдвиг может быть
использован для построения расширения дискретной динамической
системы (Я, ф, Т). В качестве непрерывного аналога мы используем
обобщенный случайный процесс белого шума. Мы собираемся
построить непрерывную обратимую динамическую систему (%?, т,
ot), удовлетворяющую условиям теоремы разд. 3. В этом
специфическом примере ситуации, описанной в разд. 3, мы будем
сохранять введенные там обозначения.
На @:=@'(R), пространстве, сопряженном к пространству
Шварца @:=@(R), существует вероятностная мера ц, такая что для
любого / е (c)
f>rfA(n = e~e'f"\
где ||/||2= ^ | ffdX, Я - мера Лебега на R (см. [5], с. 122).
R
Положим Ч?L°° {&, ji) и определим состояние т формулой т(*):= ^
*(/'№(/') для
176
Б Юоммерер
Отображения s], сопряженные к правым сдвигам st на (c) = (c)(R),
образуют группу преобразований ((c)', р), сохраняющих меру, и,
таким образом, порождают непрерывную обратимую динамическую
систему (??, т, at).
Отождествим L°°((c)/, р.) с ГНС-представлением алгебры 'S',
отвечающим состоянию т, в гильбертовом пространстве L2((c)/, |i).
Элемент / е (c), рассматриваемый как функция на
(c)', принадлежит L2(@/, р) и имеет норму (S \f\2dl)'h ([5],
с. 151). Таким образом, мы получаем вложение (c) в L2(@/, р),
которое является изометрией в L2- норме на 0sL2(R) и поэтому
может быть продолжено до изометрического вложения L2(R) в
В2(@',р). Обозначим канонический образ характеристикой функции
x[(W]e^2(R) в В2(@', р) через
В (0,/)• Далее, для t^O обозначим (fu(0, t))n<=H последова-
тельность пробных функций из @(R), такую что
lim fn (0, t) = х,0 t] в L2 (R),
П-"°о
и обозначим Bn(0,t) канонический образ fn{0,t) в В2](c)', р). Тогда
имеем
Нш Вп (0, t) = В (0, t) в L2(<&', Р).
72-" оо
Семейство случайных величин (В (0, на ((r)7> Р) опи
сывает процесс броуновского движения ([5], с. 151). По аналогии с
дискретным случаем мы можем определить унитарные элементы,
образующие нужный нам коцикл: положим для leR
:=*"">. о :=Ит eiB^\
П->оо
где предел берется в В2(@',р). Тогда vt - унитарный элемент в
L°°((c)', р)=
Предложение. Функция t-*-vt является слабо *-непрерыв- ным
унитарным коциклом группы (ot)t е р, который удовлетворяет
условиям (а), (р), (у) в части (А) структурной теоремы разд. 3.
Доказательство, использующее стандартную технику теории
броуновского движения, содержится в [11].
Примеры марковских расширений над 2 У?2-матрицами 177
