Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
где V (f) - оператор в C(c)A2(R>o),
V(f)(z, gj = (cos02 + sin 0II / 1Г1 (/, g), g - \\fr2(f, g)f +
+ cos 0II / 1Г2 </, g) f - sin 02II / If1 /), (5.53)
где 0 === pll/H. Используя (3.28), аппроксимируем Ut конеч-
ными произведениями
У(Х/)). (5.54)
где - i-i i -|, и мы использовали (1.15). Путем пря-
J П ' П J
мого вычисления действия на (2, g), используя (5.53), мы
П
находим, что JJ V (%j) сильно сходится при возрастании п /'=1
к оператору
Vt (2, /) = (2', Г), (5.55)
где
/' (s) = р2Х[о, ti (s) (i~s) + / (s) -
t
-P2Xio. ч (s) J e~w ,T~S) / (t) dx. (5.56)
о
Можно проверить, что Vt унитарен. Из того факта, что морфизм
вторичного квантования Й-"-Г(И) сильно непрерывен, вытекает, что
конечные произведения (5.54), в самом деле, сходятся к унитарному
оператору Ut- Операторы Vt по существу совпадают с элементами
Vot время-ортогонального унитарного расширения (I(c))
полугруппы*) в смысле [5].
Операторы Ut в случае II, таким образом, реализуют пре-
образование Боголюбова Vt, даваемое формулой (5.55). Опе
П г (X/)):
/=1
Конструкция квантовых диффузий
121
ратор (5.48) в случае I можно аналогично интерпретировать как
реализацию преобразования Боголюбова в С(r)Б2(К>о), на этот раз
неунитарного, а именно
Vt(z, /) = ^г - 2tplm jj f(x)dx, f -f 2p Re^xp, <]^, (5.57)
которое является элементом Vot семейства преобразований
Боголюбова
Vst (2. /) = ( 2 - 2/p Im jj / (t) dx, f + 2p Re z%[s, t] J. (5.58)
Это есть семейство эволюций
VstVrs=Vrt, (5.59)
удовлетворяющих свойству евклидовой ковариантности [5]
(I(r)Sr)Vst=Vr+s,r+t(I(r)Sr), (5.60)
где Sr сдвиг в L2(R>0),
(О, s ^ г,
"И-Ьь-4 5>л. <5'61>
В случае III рассмотрим аналогичное семейство неунитарных
преобразований Боголюбова
Vt(z, f) = (z', П (5.62)
t
z == е1грЧ - р ^ е'/гР7 (т) dx (5.68а)
/ (s) = pzX[cwi(s)e/2p s) + f(s)-
t
- P2X[o, t] (s) jj ehp2 ^~s)f (T) dx. (5.63)
0
Как и в случае II, они входят в двупараметрическое семейство
преобразований Боголюбова (Kst), удовлетворяющее свойству
евклидовой ковариантности. Используя рассуждения из [6], можно
доказать, что существует единственный выбор Vst, который
удовлетворяет соответствующему свойству ковариантности в
фоковском пространстве. Коt тогда и является искомым оператором
Ut для случая III. Более подробное доказательство будет дано в
другой статье.
122
P. JI. Хадсон, К. Р. Партасарати
В каждом из случаев I, II, III процесс (qt: t ^ 0) коммутирует с
собой при разных временах. Поэтому в каждом из этих случаев имеет
место формула Фейнмана - Каца, именно
ехр {-t (Ul0 + V (<7о))} = Е0 ?ехр j- ^ V (qx) dxj UtJ. (5.64)
В случае I это по существу совпадает с обычной формулой Фейнмана
- Каца, основанной на классическом броуновском движении. В
случае II, как показано в [5], это есть по существу формула для
"осцилляторного процесса" из [13].
Литература *)
1. Accardi L., Frigerio A., Lewis J. Т. Quantum stochastic processes, Publ. R. I. M. S.
Kyoto 18, 1 (1982), 97-133 (перевод см. в настоящем сборнике).
2. Applebaum D., Hudson R. L. Fermion Ito's formula and stochastic evolutions,
Commun. Math. Phys., 96 (1984), 473-496.
3. Cockroft A. М., Hudson R. L. Quantum mechanical processes, J. Multivariate Anal.,
7 (1978), 107-124.
4. Guichardet A. Symmetric Hilbert spaces and related topics, Lect. Notes Math., 261,
Springer, Berlin (1972).
5. Hudson R. L., Ion P. D. F., Parthasarathy K. R. Time-orthogonal unitary dilations
and non-commutative Feynman - Kac formulae, Commun. Math. Phys., 83 (1982),
261-280. '
6. Hudson R. L., Ion P. D. F., Parthasarathy K. R. Time orthogonal unitary dilations II,
Publ. RIMS, 20 (1984), 607-633.
7. Hudson R. L., Karandikar R. L., Parthasarathy K. R. Towards a theory of
noncommutative semimartingales adapted to Brownian motion and a quantum Ito's
formula, in: Theory and application of random fields, ed. Kallianpur, Lect. Notes
Control and Information Sciences, 49, Springer, Berlin (1983).
3. Hudson R. L., Parthasarathy K. R. Quantum diffusions, in: Theory and application of
random fields, ed. Kallianpur, Lect. Notes Control and Information Sciences, 49,
Springer, Berlin (1983).
9. Hudson R. L., Streater R. F. Ito's formula is the chain rule with Wick ordering,
Physics letters, 86A (1981), 277-279.
10. Lindblad G. On the generators of quantum dynamical semigroups, Commun. Math.
Phys., 48 (1976), 119-130.
11. Parthasarathy K. R., Hudson R. L. Non-commutative semimartingales and quantum
diffusion processes adapted to Brownian motion, preprint, 1982.
12. Segal 1. E. Tensor algebras over Hilbert spaces I, Trans. Amer. Math. Soc., 81
(1956), 106-134.
13. Simon B. Functional integration and quantum physics, Academic Press, New York
(1979).
14*. Hudson R. L., Parthasarathy K. R. Quantum Ito's formula and stochastic evolutions,
Commun. Math. Phys., 93 (1984), 301-323.
15*. Hudson R. L., Lindsay J. M. Uses of non-Fock quantum Brownian motion and a
quantum martingale representation theorem, Lect. Notes Math., 1136 (1985), 276-
