Квантовые случайные процессы и открытые системы - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
шениями
it: L°°(R)-> Ши (rj: F->FoPu
где
Pt = q>v(R)(Pt)' (/s R).
Пусть теперь %t, (I <= R) дается соотношением
Xt = Хю, t\, (t > 0); %t = - %\t. oi, (t < 0).
Тогда в понятном смысле d%t - %dt (ср. (2.10) и (2.12)). Се-
мейство {ш( = ф(лр)(х())(ер является винеровским процес-
сом, и в силу (3.4) Р удовлетворяет уравнению Ланжевена
dPt = - r\Ptdt л/2лйю{. (3.5)
Процесс / (или Р) называется процессом скоростей Орнштей-
на - Уленбека.
Пример 3.2. Возьмем ц > 0. Пусть Ж = R2, и определим
полугруппу S соотношением
( 0 1
St = exp (tG), G = j -т)
нему лежит в L2(R) = L2(R->Jf), где dim^f=l. Имеем
(Jt (klt k2))(s) = л/2т\ 9(/ - sX(0, 1), St-s(kb k2)) =:
=: kxqt(s) +k2pt(s).
J, так что расширение по-преж-
Гамильтоновы модели случайных процессов
65
Положим Qt = ф/.2 (R) {qt) и Pt = Ф/я <R)(p<). Тогда ассоциирован-
ный гауссовский процесс {jt} дается соотношением
it(F) = F(Qt,Pt), {F е L°°(R2)), (3.6)
и {(Q<>^)} удовлетворяет уравнению Ланжевена
dQt - Ptdt\ dPt = (-r\Pt - Qt)dt-\-^2r[dwt. (3.7)
Этот процесс известен как осцилляторный процесс Орнштей-
на - Уленбека.
4. ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
Стационарные гауссовские случайные процессы естествен-
но возникают в классической статистической механике ли-
нейных гамильтоновых систем.
Линейная гамильтонова система задается совокупностью
{Чг, h, о, V}, где У - вещественное линейное пространство,
h - строго положительная форма на У, о - невырожденная
кососимметричная билинейная (симплектическая) форма и
V - группа линейных преобразований У, удовлетворяющая
уравнению
ух, </<=?: ~о(х, Vty)\t=0 = - 2h(x, у). (4.1)
Здесь h{x, y)-l/2(h{x-\- у)-h{x) - h{y))-билинейная фор-
ма, ассоциированная с квадратичной формой h.
Пространство У - это фазовое пространство системы,
функция h: 4f->-R, сопоставляющая каждой точке фазового
пространства ее энергию, называется гамильтонианом систе-
мы, а V обозначает временную эволюцию. Симплектическая
форма о вводит дополнительную структуру, которой У наде-
лено как фазовое пространство. Часто Ф имеет вид У ==
= ФФФ*, где Ф - линейное пространство конфигураций,
а Ф* его сопряженное. Тогда о имеет вид
о (И (r) хъ ух (r) у2) = (хи у2) - (х2, ух).
Каноническое уравнение движения (4.1) связывает каж-
дый член тройки {h, а, V} с другими двумя. Обычно V должно
быть найдено по h и о. Из (4.1) следует, что V сохраняет
как h, так и о.
Пример 4.1: гармонический осциллятор.
Пусть т, а > 0.
4х = R2; re'F: x = (xi,x2); h(x) = Ч2о.х\ + l/2m~lxb
/ / 0 1/m
о(х, y) = xly2 -х2уу, Vtr=expyty_a Q
06
Дж. Т Льюис, Г. Маассен
Пример 4.2: система связных гармонических осцилляторов.
Выберем neN, и пусть {Л,у} - строго положительная ве-
щественная "X "-матрица; пусть т,> 0 для г = 1, п.
щ == х s лр. х 11 == 1,2; / = 1, . . ., п},
П П
h{x)='/2 Z XuAl/Xu + x/2'Lrn7lx2i'> СТ(^>^)==
1 i = 1
= Z (хиу,1 - x2lyu),
i
V определяется как решение (4.1) для данных Л и а.
Пример 4.3: полубесконечная струна.
Пусть & - пространство Шварца бесконечно дифференцируемых
и быстро убывающих функций R R. Положим Т = = ^2= {/ = (/=!, /=2) |
fuf2(=93}. Определим
ОО 00
А(/)='/2 J (f[(sf + f2(sf)ds-, o(f, g)= J (ffa-tejds;
- оо -оо
(Vtf) (s) = (a(s - o + b(s + t), -a'(s - t) + b' (s + 0).
где а и b определяются с точностью до постоянной разности
соотношениями
а + b - fi, -а' b =/г-
Функция Y-^IR называется наблюдаемой. Широкий класс
линейных наблюдаемых дается функционалами
Ф Х:у-*а(х,у). (4.2)
Таким образом, каждая точка в фазовом пространстве естественно
играет роль наблюдаемой. Наблюдаемые эволюционируют по закону
{V-t}, потому что
Vx(Vty) = o(x, Vty) = a{V-tx, y) = w_t(y).
Определим сопряженный гамильтониан h на наблюдаемых по
формуле
h (*) = sup (а (*, y) - h (у)). (4.3)
Если ах е Y - точка, в которой супремум достигается, то
производная максимизируемой функции равна нулю, т. е.
у у: а (х, у) = 2 h (ах, у). (4.4)
Поэтому
Я(х) = а (х, ах) - h (ах) = 2h{ах) - h (ах) = h (ах). (4.Б)
Определение (4.3) мотивируется следующей леммой.
Гамильтоновы модели случайных процессов
67
Лемма 4.1. Пусть |3 > 0. Пусть V конечномерно и dy обо-
значает меру Лебега на ЧЛ Тогда для всех х е Ч*
^ ^ gioи ,у) е-рл (y)dy^ I^ ^ e~$h {y)dy^j = е~ь (;С)/Р . (4.6)
Доказательство. Фиксируем леЧ'. Пусть he аналитиче-
ское продолжение h на Ч'с X ^с, где Ч'с - комплексифика-
ция Чг. По теореме Коши
^ e-h{y)dy= ^ e~h°(4° dy = ^ e~h° ^y~ta^ dy. (4.7)
ЧГ ЧГ- iax ЧГ
Однако
hc{y - iax) - h(у) - h(ax) - 2ih{y, aj =
- h(y) - h(x) - io(x, y),
согласно (4.4) и (4.5). Поэтому правая часть (4.7) равна
еЯ(х) . ^e-h(y) + ia (х, y)dy.
Ч'
Отсюда получается утверждение при Р=1; общий случай
аналогичен. ?
Лемма 4.2. Пусть {Ч/, Н, о} - линейная гамильтонова си-
стема с сопряженным гамильтонианом Я. Тогда для всех
х,у^
\а{х, y)\2s^4h(x)h(y).
Доказательство. Из определения (4.3) следует, что
