Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
представляет собой (вообще говоря) симплектическое многообразие, несмотря
на то, что не является кокасательным расслоением. Мы предполагаем, что 'S
может быть в действительности разбито на симплектические многообразия,
подобно стратификации суперпространства; см. [18, 82]. Сингулярности в %
возникают в окрестности пространств-времен с симметриями, и они имеют
конический характер [95]. В своем отчете 1978 г. Фонду гравитационных
исследований Монкри подчеркивал, что эти сингулярности оказывают
существенное влияние на процедуры квантования (например, для
пространства-времени де Ситтера).
Методы, использованные нами для анализа гравитации, основаны на /,2-
сопряженном формализме и переносятся непосредствен-
*) Интересным моментом является здесь то, что хотя и представ-
ляет собой подмногообразие многообразия T*a4t, но не обладает
естественной симплектической структурой, индуцированной из Тпоскольку
касательное пространство к не 7-инвариантно. Приходится переходить к
фактор-
многообразию чтобы получить симплектическую структуру, инду-
цированную из T*aS.
//. Проблема начальных данных
155
но на поля, минимально взаимодействующие с гравитацией, в частности на
поля Янга—Миллса. В последнем случае эквивалентность устанавливается не
по группе а по большей группе диффео-
морфизмов эквивалентного расслоения (т. е. калибровочных преобразований,
накрывающих диффеоморфизмы пространства-времени). С помощью изложенных
методов мы можем показать, что пространство степеней свободы для полей и
гравитации, если взаимодействие полей с гравитацией минимально,
представляет собой, вообще говоря, симплектическое многообразие; см. [93,
94].
В заключение мы хотели бы выразить надежду, что представленные здесь
методы помогут раскрыть некоторые взаимосвязи, существующие между общей
теорией относительности, дифференциальной геометрией, функциональным
анализом, теорией нелинейных уравнений в частных производных,
бесконечномерными динамическими системами, симплектической геометрией и
теорией сингулярностей. Несомненно, все эти (как и прочие) области
математики должны внести соответствующий вклад в исследование теории
гравитации, прежде чем наступит время окончательного анализа.
ЛИТЕРАТУРА»)
1. Abraham R., Marsden J. Foundations of Mechanics, Second Edition. W. A.
Benjamin, New York, 1978.
2. Arms J., Linearization stability of the Einstein—Maxwell system, J.
Math. Phys., 18, 830 (1977).
3. Arms J., Linearization stability of coupled gravitational and gauge
fields. Thesis, Berkeley, 1977.
4. Arms J., Fischer A., Marsden J., Une approche symplectique pour des
theore-mes de decomposition en gfeometrie ou relativite generaie, C. R.
Acad. Sci. (Paris), 281, 571 (1975).
5. Arnowitt R., Deser S., Misner C. W\, Dynamical structure and
definition of energy in general relatiivty. Phys. Rev., 116, 1322 (1959).
6. Arnowitt R., Deser S., Misner C. W., Note on positive-definiteness of
the energy of the gravitational field. Ann. Phys., 11, 116 (1960).
7. Arnowitt R., Deser S., Misner C. W., The dynamics of general
relativity.— In: Gravitation: an Introduction to Current Research, ed. L.
Witten, Wiley, New York, 1962, p. 227.
8. Avez A., Essais de geometrie riemannienne hyperbolique global —
applications a la relativite generaie. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 13,
105 (1963).
9. Avez A., Le probleme des conditions initiales. In Fluides et champs
gravita-tionnels en relativite generaie, Colloq. Intern. CRNS 170. Paris,
1967, p. 163.
10. Bancel D., Choquet-Bruhat YExistence, uniqueness and local stability
for the Einstein—Maxwell—Boltzmann system. Commun. Math. Phys., 33, 83
(1973).
11. Bancel D., Lacaze JEspaces de fonctions avec conditions asymptotiques
et sections d’espace maximal non compact. C. R. Acad. Sci. (Paris), 283,
405 (1976).
12. Barbance C., Decomposition d’un tenseur symmetrique sur en espace
d’Einste-in. C. R. Acad. Sci. (Paris), 258, 5336; 264, 515 (1964).
*) Назначение втого списка литературы — дать достаточно полное
представление о состоянии проблем, обсуждаемых в статье, поэтому отнюдь
не на все работы, упомянутные здесь, имеется ссылка в тексте статьи.
156
А. Фишер, Дж. Марсден
13. Berezdivin J., The analytic noncharacteristic Cauchy problem for
nonlightlike isometrics in vacuum spacetimes. J. Math. Phys., 15, 1963
(J974).
14. Berger М., Sur les varietes d’Einstein compactes. In Comptes Rendu;
III Reunion Math. Expression Latine Namur. Centre Beige de Recherches
Math?-matiques, 1965.
15. Berger М., Quelques formules de variation pour une structure
riemannienne, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 3, 285 (1970).
16. Berger М., Ebin D., Some decompositions of the space of symmetric
tensors on a Riemannian manifold. J. Differ. Geom., 3, 379 (1969).
17. Bergmann P. G„ Conservation Laws in general relativity as the
generators of coordinate transformations. Phys. Rev., 112, 287 (1958).
18. Bourquignon J. P., Une stratification de i’espace des structures
