Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
являются решением уравнений связи) Тогда сущест-
вуют пространство-время (Vt, ""go) и пространственноподобное вложение i„:
М -*? V4, такие, что (I) Hin(U)go)=0;
(II) метрика и сопряженный импульс, индуцированные на 2„= =ЦМ),
совпадают с (g0, я0);
(III) Z. является поверхностью Коши х);
(IV) (Vi, <4>go) является максимальным пространством-временем [т. е. не
может быть погружено собственным и изометрич-ным образом в другое
пространство-время со свойствами (I), (II) и (III)].
Это пространство-время (V4, (4,g0) единственно в том смысле, что если
имеется другое пространство-время (VV4,go)> для которого выполняются
условия (I)—(IV), то существует единственный диффеоморфизм F : Vt V'i,
такой, что
(I) FmU)g'0 = lt>gv (т. е. F изометричену,
(II) Foi0 = i;.
М И таким образом, пространство-время (V4, (1|д) глобально-гиперболично
(1104], предложение 6.6.3), а потому любая компактная гиперповерхность
есть поверхность Коши 124J.
138
А. Фишер, Дж. Марсден
Доказательство можно найти в работе 1104]. Единственность F доказывается
с использованием того факта, что изометрия определена своим действием на
систему отсчета в некоторой точке. Линеаризованная версия этого
результата понадобится нам в следующем разделе (подробности см. в работе
[92]).
Теорема 29
Пусть (У4, (4,go) — вакуумное пространство-время (т. е. Ein (U)go)=0) с
компактной поверхностью Коши 20=t0(Af) и с индуцированными метрикой и
каноническим импульсом (g0, л„) ? П #в. Пусть (h0, <»> о) € 52х SJ
удовлетворяют линеаризованному уравнению связи, т. е.
ОФ(г«, я0)?(*« "о) = 0.
Тогда существует {i)h0 6 52(1/4), для которого
D Ein (t4,go) (4)/io = 0
и такое, что линеаризованные данные Коши, индуцированные U)/i0 на 20,
суть (h0,o)„).
Если U)h'0 — другое такое решение, на Vt существует единственное
векторное поле и)Х, такое, что
(4,^ = ,4,/i0 + W4)g0.
и (4,Х и его производная равны нулю на 20.
Замечания, а) Линеаризованные данные Коши определяются аналогично
определению (g, я), т. е. если (4)g(p) — кривая лорен-цевых метрик,
касательных к u7t в точке U)g0, то
(h о ) = (дЛМ I *SJW I ^
(«о. «о) ^ др |р=0, др |p=0J,
где (g(p), я(р)) —данные Коши, индуцированные на 20 метрикой u,g(p)-
б) На гармонические координаты можно смотреть как на техническое
средство, с помощью которого проверяется абстрактная теория, изложенная в
разд. 3. Однако коль скоро это проделано, корректность имеет место в
любой калибровке. Например, можно дать бескоординатную трактовку
гиперболических систем (см. [143], с. 247). Более того, при численных
расчетах, как показывает работа Смарра и др., разбиения на максимальные
слои и слои постоянной средней кривизны могут оказаться более полезными,
чем гармонические координаты.
Абстрактная теория, приведенная в разд. 3 (см. теорему 16), относится как
к полям, взаимодействующим с гравитацией, так и к чистой гравитации.
Однако при этом следует отметить ряд моментов (ср. с работой [104], разд.
7.7):
(I) Взаимодействие полей с гравитацией должно быть минимальным, чтобы
не нарушился гиперболический характер уравнений для гравитационного поля.
II. Проблема начальных данных
139
(II) Тензор энергии-импульса должен быть гладкой функцией (не
обязательно полиномиальной) u)g, (4,ср.
(III) Для фиксированной wg (линеаризованные) уравнения материальных полей
должны быть корректными. Это необходимо для того, чтобы могла выполняться
гипотеза (А1) теоремы 16 1).
Остальные условия теоремы 16 носят технический характер, но их нельзя
игнорировать (они уточняют условие Б, с. 254 книги Хокинга и Эллиса
[104]). Примеры взаимодействующих систем и теорию существования,
основанную на прямых методах, читатель найдет в работе [35].
Приведенные выше результаты относительно единственности и глобального
развития Коши для вакуумных уравнений стандартным образом переносятся на
системы, взаимодействующие с гравитацией .
б. ЛИНЕАРИЗАЦИОННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ВАКУУМНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА
Устойчивость линеаризации связана с вопросом о справедливости первого
порядка теории возмущений. Суть вопроса состоит в следующем. Допустим, у
нас имеются дифференцируемая функция F и точки х0 и у0, такие, что
F(x0)=yo- Стандартная процедура нахождения других решений уравнения
Р(х)=у0 вблизи х0 состоит в решении линеаризованного дифференциального
уравнения DF(x0)'h=0 и в утверждении, что x=x„+ph при малых р является
приближенным решением уравнения F(x)=y0. Это утверждение может быть
уточнено следующим образом: при малых р существует кривая точных решений
х(р), такая, что F(х(р))=у0, x(0)=x0 и x'(0)=h. Если это утверждение
справедливо, мы говорим, что F линеариза-ционно устойчива в точке х0.
Легко указать случай, когда это утверждение неверно. Например, при двух
измерениях уравнение F(x1, x2)=jc?+X2=0 не имеет иных решений, кроме (0,
0), хотя линеаризованное уравнение DF(0, 0)-(h, k)=0 имеет много решений.
Таким образом, обладает или не обладает уравнение линеаризаци-онной
устойчивостью вблизи некоторого данного решения, вовсе не праздный
