Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
113
Взяв след от (I) и (II), получим
(III) — 4-#?(g, n) + 2(AA0dM'(g) + trL*л = 0,
(IV) — V tr л' + 2 div Х = 0.
Далее,
trl* л = Xd tr я — л -Ljjg + div х (tr л),
так как
Lxn = (Lxn') (g) ф (g) -г я' (g) (div X) ф (g)
в координатах
(Lxn)V = X*n\‘k - n‘*X{ k - ni*X\ k + Х\кпЧ.
Поскольку SV(g, я)=0, (III) сводится к равенству
(V) 2 (AN)dn (g) + X-dtr я — n-LA-g + (div X) (tr л) = 0.
Используя (II) и (IV), чтобы исключить Lxg и div X в (V), получим
(VI) 2 (AN) + Xdtrn'-n'-Lxg + (div X) (tr л') =
=*2AN -\-2Nn' • [\л')1> — -у (tr n')gj -f- у (tr л') (tr л') + Х-й tr л'
= = 2 AN -\-2Nn'• л'-fy (tr n')2 + X dtr л' =
= 2 AN + 2N [я'л'—J-(trn')8] + X-dtrn' = 0.
Теперь заметим, что коэффициент при N, а именно
Р(п' л')=л'-л'—i(trn')a= [л'—y(tr л')г] • [л' —у (tr n')gj
положительно определен. Таким образом, если tr л' постоянен, то (VI)
принимает вид
2AN + 2P(n', n')N = 0\
это означает, что Л(=0, если только п’ФО. Если же л'=0, то N= *=const. В
последнем случае из (I) следует, что Ein(g)=0 и отсюда Ric(g)=0, т. е. g
— плоская метрика, поскольку dim М=3. Однако случай (gP, 0), где gP—
плоская метрика, исключается условием С®. Поэтому л'^О и N=0. Тогда в
силу (I) и (II) имеем Lxg=0 и Lxn=0, что, по условию Се, означает Х=0.
Итак (N, Х)=(0, 0) и, следовательно [D<D (g, л)] * инъективно при
выполнении условий С®, С6 и С,г. Тогда утверждение доказываемой теоремы
следует из теоремы о неявной функции. Щ
Замечание. Слабым местом нашего анализа является необходимость наложить
условие tr n'=const, чтобы показать, что пересечение Чбзе П в есть
многообразие. Возникает сомнение, не достаточно ли одних только условий
С® и Са, чтобы система (I) и (II)
114
А. Фишер, Дж. Марсден
была инъективна. Трудность, однако, в том, что в этой системе скажем (VI)
и (II) для (N, X), член взаимодействия вида X-d tr я', уже может
оказаться препятствием для доказательства единственности для этой
системы. Результаты Монкри, обсуждаемые в разд. 5, проливают свет на этот
вопрос.
В работах [54, 141] обсуждается существование гиперповерхностей с
постоянным tr я'. На этих преимущественных гиперповерхностях и будут
проверяться условия С» и Се-
3. АБСТРАКТНАЯ ЗАДАЧА КОШИ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
В этом разделе дается сводка тех результатов общей теории гиперболических
задач с начальными данными, которые понадобятся нам для общей теории
относительности. Полные доказательства длинны и технически сложны,
поэтому будут приведены лишь их идеи. За подробностями можно обратиться к
работам [108, 112—114]. Приводимый здесь абстрактный подход
предпочтителен тем, что в нем содержатся как частные случаи и
симметричные системы первого порядка, так и гиперболические системы
второго порядка и комбинации этих систем. Более того, этот подход дает
наименее ограничительные результаты в смысле дифференцируемости.
Начнем с линейного случая с последующим переходом к нелинейному и
приведем один полезный для дальнейшего результат относительно
дифференцируемости отображения по времени t, затем покажем, как эти
результаты применяются к гиперболическим системам.
Мы предполагаем, что читатель знаком с теорией линейных полугрупп (см.,
например, 1106, 140, 181]).
Пусть X — банахово пространство и G(X, М, р) означает множество
генераторов Л Co-полугруппы e^—U {t) на X, удовлетворяющих условию
11С (О II < Me е, t> 0;
т. е., по теореме Хилла — Иосиды, Я—А действует на X однооднозначно и,
кроме того,
|(Х-ЛГ»|<(-?^_, л = 1,2.............. Ь>р.
Если М = 1, мы будем говорить, что генератор А квазиаккретивен. или что
оператор U(t) квазиконтрактивен,. Именно этот класс линейных полугрупп
важен для нас. Напомним, что для ф??)(Л) (D(A) — область определения А)
С(<)ф=ф(0 также лежит в D (A) и удовлетворяет уравнению эволюции
57ф(0 = Лф (О,
(1)
//. Проблема начальных данных
115
где ф(-) при вычислении производной по времени рассматривается как
отображение [0, ool на X.
Пусть X, Y — банаховы пространства, КсХ, причем включение непрерывно и
плотно. Пусть U (t, s) — семейство ограниченных операторов на X,
определенное при O^s^^T; здесь [О, Т] — подходящим образом выбранный
интервал времени; Т может быть сколь угодно большим. Пусть А (t) —
семейство линейных генераторов на X,YcD(A (()), O^t^T. Мы назовем U (t,
s) семейством (сильных) эволюционных операторов для А, если
(I) U(s, s)= 1 и (/, s)h->(/(/, s) сильно непрерывно в X;
(II) U(t, s)U(s, r)=U(t, г), 0
(III) U(t, s) есть ограниченный оператор из Y в Y и сильно непрерывен по
(t, s);
(IV) (d/dt)U (t,s)q>=A(t)U (t,$)q,y ?Y («дифференциальное уравнение
вперед»), причем и правая, и левая части сильно непрерывны по (t, s) со
значениями в B(Y, X) (ограниченные операторы из Y в X) и d/dt берется по
норме пространства X.
Если продифференцировать (II) по s при s=r и использовать (IV), то
формально получим «дифференциальное уравнение назад»:
s) ф = — U (t, s)A(s) ф
для ф ? К. Это легко доказать, представив (IV) в виде интегрального
