Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
сконцентрирована в правой части уравнения (19), которая выражает принцип
обратной связи: полевой оператор Фщ, через T41v служит отчасти источником
самого себя. Формально можно рассматривать и ф на равном основании. Они
взаимодействуют друг с другом и с самими собой при своем распространении
в фоновой геометрии, описываемой метрикой g^,. В физических условиях, в
которых допустимо считать Фцг и ф «малыми», как5[?, Ф, ф], так и T|lv
могут быть представлены как функциональные степенные ряды по Ф^ и ф,
начинающиеся с квадратичных членов. Эти степенные ряды образуют основу
для теории возмущений.
При выполнении уравнений (18) и (19) T|iv удовлетворяет условию
Tnv.v = o, (22)
где ковариантная производная берется относительно фоновой метрики. T|1V
обладает всеми свойствами тензора натяжений и может рассматриваться в
качестве такового *). Его (перенормированное) среднее значение и есть та
величина, которая требуется в проблеме обратного воздействия. Она
появляется в соотношении, которое получается из (19) взятием среднего
значения:
^от<Фат>=-у<Т^>. (23)
Об этом уравнении следует сделать несколько замечаний. Во-первых, в
последующем будет удобно всегда заменять обычные
*) В действительности при определении формулой (21) T^v является
тензорной плотностью веса 1. В данном обзоре всюду удобно брать тензор
натяжений в форме плотности.
VI. Квантовая гравитация: новый синтез
317
средние значения «швингеровскими» средними
Д <out, vac | г (A) I in, vac> .
' <out, vac | in, vac> ’ ' '
где T — оператор хронологического упорядочения. Если А — локальный
оператор, так что символ Т может быть опущен, и нет рождения частиц
фоновым полем, так что вакуумные векторы состояния in и out тождественны,
то швингеровское среднее совпадает с обычным вакуумным средним. В более
общем случае эти два средних различаются, но обычно на конечную величину,
даже если оператор А не перенормирован. Следовательно, при исследовании
вопросов перенормировки мы можем ограничиться рассмотрением только
швингеровского среднего. Мы пойа отложим вопрос о том, как определить
швингеровское среднее, когда состояния in и out не могут быть введены
общепринятым способом из-за отсутствия вре-мениподобных векторов Киллинга
или когда они неоднозначны по другим причинам.
Во-вторых, следует заметить, что хотя операторы фЙУ и T|iv можно считать
преобразующимися как обычные тензоры при координатных преобразованиях
фоновой метрики, они не инвариантны относительно калибровочных
преобразований квантовой теории гравитации. При калибровочных
преобразованиях фоновая метрика остается фиксированной, и когда квантовый
метрический тензор подвергается калибровочному преобразованию [см.
равенство (95)], вся «тяжесть» этого изменения «ложится» на ФЙУ . Поэтому
средние значения (23) неоднозначны. Позднее мы введем особый способ
устранения этой неоднозначности [см. (127), (132), (133)], который
состоит во взятии гауссова среднего по калибровкам специального вида.
Если такая процедура усреднения проведена, в (23) 1см. формулу (158)]
должны появиться дополнительные члены, но для приближений,
рассматриваемых в разделах, следующих непосредственно за этим разделом;
уравнение (23) справедливо в приведенном здесь виде.
Стоит заметить, что эта процедура усреднения во многих отношениях
аналогична методу пространственно-временного усреднения, введенному
Айзексоном [52] в классической теории для получения корректно
определенного тензора натяжений. Бор и Розен-фельд [7] в свое время
подчеркивали, что физический смысл имеют только пространственно-временные
усреднения полевых величин. Усредненный тензор натяжений может
«наблюдаться» только путем измерений в его окрестности пространственно-
временных средних «локальной компоненты» тензора Римана, по существу
через измерение левой части (23). (Тензор натяжений не измеряется
детектором частиц!) Если для гравитационного поля провести анализ [19],
подобный анализу Бора — Розенфельда, то окажется, что средние значения
локального тензора Римана в квантовой области могут быть измерены (в
принципе) с достаточной точностью, пока область
318
Б. С. Де Витт
усреднения больше планковской длины. Поэтому уравнение (23) имеет
настоящий операционный смысл.
Математически точное утверждение относительно этого смысла можно
получить, вводя следующие определения:
def def
qVv = gnv + <*nv> = <gnv>, Ф=<Ф>- (25)
Ниже будет показано, что существует функционал Г[<р, ф] от <рЙУ и ф,
такой, что (исправленным) уравнениям (23) и швингеровскому среднему от
уравнения(18) может быть придана соответственно следующая форма:
г?-0' да
(27)
Здесь Г— так называемое эффективное действие. Оно описывает динамическое
поведение когерентных гравитационных, электромагнитных и прочих полей
большой амплитуды. При таком описании роль основной «классической»
метрики играет фцу, а не g^.
Поскольку поведение определяется функционалом Г,
а не S, то в него включено и самодействие. Использование фйу вместо
