Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
с координатами (jtj.....хП) в точку с координатами ..........x'Jj,
где величины х' задаются соотношениями
В этих линейных уравнениях я2 коэффициентов atj образуют квадратную таблицу — матрицу а преобразования. У преобразования (1.8) будет обратное, если определитель матрицы а отличен от нуля, т. е. если а — невырожденная матрица. Если вслед за преобразованием (1.8) мы выполним второе преобразование
то результирующим преобразованием (произведением преобразований) будет преобразование
Из (1.9) мы видим, что одно преобразование, позволяющее совершить переход непосредственно от х и х", задается равенствами
П
x'i= 2latjXj (/=1..................п).
(1.8)
ТІ
х" = 2 Ь, .х' (1=1.....п)
; = I
п
ГДЄ
п
сш — 2 b^ajk і-1-
(і, 1, . . я).
(1.10)
§ 2. Группы. Определений а примеры
19
Равенство (1.10) задает правило, по которому следует комбинировать элементы матриц b и а,чтобы получить произведение матриц с:
с = Ьа.
(1.11)
Последнее равенство служит символической записью п2 равенств (1.10). Соотношение (1.8) можно также записать в символическом
виде. Координаты хх.........хп можно рассматривать как элементы
матрицы, имеющей п строк и один столбец:
X =
(1.12)
Точно так же можно записать и х'. Тогда равенство (1.8) примет вид
х = ах,
а для обратного преобразования будем иметь
х = а-1х',
(1.13)
(1.13а)
где а-1 — матрица коэффициентов обратного преобразования.
§ 2. Группы. Определения и примеры
Под группой преобразований G мы понимаем совокупность преобразований заданного множества точек, которая удовлетворяет следующим условиям:
1) содержит тождественное преобразование;
2) вместе с каждым преобразованием М содержит также и обратное ему преобразование Ж-1;
3) если содержит преобразования М и М', то содержит также и их произведение МА1'.
Евклидовы движения (движения твердого тела) в обычном пространстве образуют группу; множество всех п\ перестановок п точек образует группу; движения равностороннего треугольника, совмещающие его с самим собой, образуют группу и т. д.
Если точкам множества и преобразованиям не придавать никакого конкретного наглядного смысла, то Л понятия группы преобразований мы придем к понятию абстрактной группы.
Абстрактная группа G — это множество элементов а, Ь, с и т. д., для которых закон композиции, или „умножение", задан так,
20
Глава 1. Элементы теории групп
что „произведение“ ab любых двух элементов вполне определено и удовлетворяет следующим условиям О: ч
1) если а к b — элементы множества, то и ab также принадлежит этому множеству;
2) умножение ассоциативно, т. е. a(bc) = (ab)c\
3) множество содержит элемент е, называемый единицей, такой, что ае = еа = а для любого элемента а из множества;
4) если элемент а принадлежит множеству, то существует элемент Ь такой, что ab = ba = e. Элемент b называется обратным для элемента а и обозначается Ь = а~>.
Хотя групповую операцию мы часто называем „умножением11, из этого отнюдь не следует, что эта операция является обычным умножением. Множество рациональных чисел (за исключением нуля) образует группу по обычному умножению. Совокупность целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) образует группу, если групповой операцией служит обычное сложение. Даже в этих примерах мы пользуемся не абстрактной группой, а каким-либо конкретным примером („реализацией") абстрактной группы. Структура абстрактной группы определяется заданием результата „умножения11 каждой упорядоченной пары элементов либо путем перечисления, либо же путем указания функционального закона без какой бы то ни было конкретизации природы элементов.
Говорят, что два элемента а и Ь группы коммутируют друг с другом, если
ab — ba, (1.14)
т. е. если их произведение не зависит от порядка сомножителей. Из аксиом группы мы видим, что единичный элемент е коммутирует со всеми элементами группы. Если все элементы некоторой группы коммутируют друг с другом', то говорят, что эта группа коммутативная, или абелева. Для абелевых групп в качестве символа для обозначения групповой операции по традиции используют знак В таких группах „произведение" элементов а и b
записывается в виде а-\-Ь (или Ь-\-а), символ 0 используется для
]) На самом деле приводимые ниже аксиомы избыточны; аксиомы 3 и 4 можно заменить более слабыми требованиями:
3') множество содержит элемент е, называемый левой единицей, такой, что еа — а для любого элемента а из множества;
4') если а принадлежит множеству, то существует элемент Ь, такой, что Ьа = е, где е—левая единица, определенная в 3'. Элемент b называется левым обратным для элемента а относительно левой единицы е.
Читателю, для которого сказанное представляет интерес, следовало бы доказать, что левая единица е в аксиоме 3' является также и правой единицей, т. е. ае = а, и определяется единственным образом и что элемент Ь в аксиоме 4' является также и правым обратным для элемента a(ab = e) и по элементу а определяется однозначно. Таким образом, аксиомы 3 и 4 следуют из более слабых требований 3' и 4'.
§ 2. Группы. Определения и примеры
