Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
времени
At - /,•-/[_х. (4.1.2)
Воздействие когерентных вынуждающих и флуктуирующих сил можно описать
уравнением
Aq (t^ = К (q Vi-1)) At + До; (/,¦), (4-1.3)
где Aw (tt) = w (ti) - w (ti-J. Так как Аш учитывает влияние
микроскопических процессов на макроскопический процесс, описываемый
переменной q, мы вправе ожидать, что Аш зависит от очень многих степеней
свободы "внутреннего мира". Как обычно в статистической механике, это
огромное число степеней свободы мы описываем с помощью статистики.
Следовательно, мы вводим статистическое усреднение, характеризуемое двумя
свойствами.
1) Среднее от Аш по предположению равно нулю:
( Аш (ti)) = 0. (4.1.4)
В противном случае приращение Аш содержала бы часть, действующую на
систему когерентно, и эту часть можно было бы включить в К-
2) Флуктуации по предположению происходят в очень малом временном
масштабе. Следовательно, при рассмотрении корреляционной функции между Аш
в различные моменты времени ti и tj соответствующие флуктуации можно
считать некоррелированными. Таким образом, мы постулируем, что
(Aw(ii)Aw(tj)) = btitjQAt. (4.1.5)
Величина Q есть мера величины флуктуаций; символ Кронекера b(.t. выражает
статистическую независимость Аш в различные моменты времени tt и tj.
Интервал времени At входит в (4.1.5) потому, что, определяя флуктуирующие
силы, мы хотели бы охватить как частный случай и броуновское движение. В
том, что это дейст-
Стохастические нелинейные дифференциальные уравнения
179
вительно так, нетрудно убедиться на простом примере, а именно когда
К = 0. (4.1.6)
В этом случае решение разностного уравнения (4.1.3) находится без труда
суммированием правой и левой частей по tc
q{t)-q{t0) = ? Дш(/У), t-t0=NAt. (4.1.7)
i=i
Время окончания наблюдения над системой мы обозначили через t. Пусть q
(t0) = 0. Тогда из (4.1.4) следует, что
(q(f)) = 0. (4.1.8)
Чтобы понять, каким образом значительные отклонения q (t) могут быть
в среднем вызваны флуктуациями, образуем средний
квадрат
(?2(0)=ЕХ <Дш(Т)ЛИ^)>, (4.1.9)
1=1 /= 1
который с учетом (4.1.5) приводится к виду
QZ&t^Qt. (4.1.10)
/= 1
Этот результат хорошо известен из теории броуновского движения: средний
квадрат смещения (координаты) частицы, совершающей броуновское движение,
линейно возрастает со временем t. Формула
(4.1.10) следует из постулата (4.1.5).
Вернемся к (4.1.3). Как мы увидим из дальнейшего, амплитуды флуктуаций Aw
нередко зависят от переменной q, т. е. возникает необходимость в
рассмотрении уравнений вида
Aq (t{) = K(q {ft-i)l At + g (q) Aw (/,). (4.1.11)
Возникает важный вопрос: при каких t следует брать значения переменной q,
входящей в качестве аргумента в функцию g? Оказывается, что различный
выбор временной зависимости q приводит к различным процессам. Это
означает, в частности, что время нельзя выбирать произвольно. В
литературе известны два выбора временной зависимости переменной q. Один
из них восходит к Ито: значения q в g берутся при Ч-i- В уравнении
(4.1.11) необходимо произвести подстановку
g{q) Awitij ^giqiti-i}) Aw (ft). (4.1.12)
Сначала система достигает q (ti_i), затем происходят флуктуации и
переводят систему в новое состояние q {ti). Поскольку флуктуа-
180
Глава 4
ции Aw происходят после того, как система достигает при t = t^1 состояния
q, q (ti-i.) и Aw (ti) некоррелированы, т. е.
< g {q (ti-1)) ^ (ti) ) = (g(q (ti-1))) < Aw (ti)> = 0. (4.1.13)
=o _
Как мы увидим, эта особенность оказывается весьма удобной при выполнении
всякого рода математических преобразований. С другой стороны, во многих
приложениях выбор временной зависимости переменной q в виде (4.1.12)
недостаточно хорошо описывает реально происходящий процесс: флуктуации
происходят все время, в частности и тогда, когда система переходит от
одного дискретного значения времени к другому. Второй выбор временной
зависимости, предложенный Стратоновичем, требует подставлять в
(4.1.12) значения q, взятые посредине между /?_х и ti. Таким образом,
по Стратоновичу в (4.1.12) необходимо положить
g(q) Aw (ti) = g(q (Л+2*-~-1--)) (U). (4.1.14)
Подстановка Стратоновича обладает важным преимуществом: она позволяет
преобразовывать переменные так, как это принято в теории дифференциальных
уравнений.
Так как переменную q мы рассматривали при дискретных значениях времени
ti, может показаться странным, что теперь нам понадобилось вводить новые
значения t между членами старой последовательности. В ответ на это мы
ограничимся пока замечанием о том, что и в процедуре Ито, и в процедуре
Стратоновича следует иметь в виду предельный переход, при котором At (см.
(4.1.2)) стремится к нулю. При таком переходе середины интервалов также
оказываются включенными в общую схему аппроксимации.
4.2. Дифференциальное уравнение Ито и уравнение Ито-Фоккера-Планка
В этом разделе мы рассмотрим общий случай, когда состояние системы
описывается вектором q с компонентами qt. Требуется исследовать
стохастический процесс, в котором в отличие от
