Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
использовании теории возмущений. Разложим матрицу L дифференциального
уравнения
Q = LQ (2.9.1)
в сумму
L - L0 + Lu (2.9.2)
где L0 - постоянная матрица, в то время как матрица Lj не
содержит постоянных элементов. Проще всего для этого разложить
элементы матрицы L в ряд Фурье, свободный член которого однозначно
определен.
Произведем теперь в (2.9.1) подстановку
Q = SQ, (2.9.3)
где S - постоянная невырожденная матрица, и, умножив обе части уравнения
слева на S-1, получим
Q = S~1LSQ. (2.9.4)
Матрицу S выберем так, чтобы она приводила матрицу L0 к жор-дановой
нормальной форме, т. е.
S~1L0S = J. (2.9.5)
Для упрощения последующих рассуждений предположим, что J содержит только
диагональные элементы. Кроме того, пусть
S-1L1S = A4, (2.9.6)
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
129
так что
Q - {J + М) Q.
Подставляя в (2.9.7)
Q=e"Q,
получаем после дифференцирования по t
Q - e~tJ MetJ Q.
' м
Можно показать, что элементы Мы матрицы М имеют вид
Мь
(2.9.7)
(2.9.8)
(2.9.9) (2.9.10)
где Ji - диагональные элементы матрицы J. До сих пор все преобразования
были точными. Обратимся теперь к теории возмущений. Предположим, что
периодическая часть Lx матрицы L, или матрица М в (2.9.9),- малая
величина. Чтобы подчеркнуть эту малость, введем (малый) параметр е. Кроме
того, разложим дифференциальное уравнение (2.9.9), которому удовлетворяет
матрица решений, на уравнения для отдельных вектор-решений:
где М - матрица вида Мп М21
М12 М2 2
zMq,
М13 М2 з
(2.9.11)
Мп1
Мп
(2.9.12)
и, в частности,
МИ = 0, м
тт 1
2л
2я о
Mjjd(p, ф=ш/.
Недиагональные элементы можно представить в виде Мц = Л/Ч0) (/), Ац = -
(/,- Ji),
где Р(и - периодические функции времени. Предположим также, что
A,/-fim(o^=0 при т = 0, ±1, ±2, .
(2.9.13)
(2.9.14)
. (2.9.15)
130
Глава 2
Чтобы решить уравнение (2.9.11), положим q равным
1 А\" Л<2)
exp [t (а2е2-:~а3е3т . . . )] 0 + е А(21) + е2 АР + . .
.
_ 0 А(tm) А?
(2.9.16)
где А(х) - векторы, зависящие от времени. При е
(2.9.16) вырождается в единичный вектор
0 вектор
1
О
О
(2.9.17)
Так как компоненты вектора q можно нумеровать в любом порядке, наш подход
ничуть не умаляет общности. Подставляя (2.9.16) в
(2.9.11), дифференцируя и деля обе части получающегося уравнения на exp
[t (а2е2 + а3е3 +...)], приходим к разложению
1 А\1)
q = (а2е2 -|- а3еЛ + а4е4 + . . . ) 0 + е А? + . . .
_ 0 . да)
+
-1- е
А\1) л12) Ми
ар + е2 Ар + . . =е М21
, л<'> , л<2) Mnl
+
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 131
%МиА\" /= 1 1= 1
1= 1 + • • • +eft+1
Z MnlA\" ZMnlA^
(2.9.18)
Сравнив коэффициенты при одинаковых степенях в в правой и левой частях
уравнения (2.9.18), мы придем к системе дифференциальных уравнений.
Рассмотрим ее подробнее.
В низшем порядке по в первая строка матричного уравнения имеет вид
e:A\l) = Mn= ?c(mV'm"'. (2.9.19)
тф О
Уравнению (2.9.19) удовлетворяет
Zc(m
_т_ (2.9.20)
imco
т+0
Выбирать1) А{1) Ф 0 не обязательно, так как это сказалось бы только на
нормировке. В том же порядке по е, но в других строках (т. е. при I Ф 1),
мы получим уравнения
А\1) = М1и 1 = 2,3, . . . (2.9.21)
Проинтегрировав (2.9.21), мы найдем Л/0. Чрезвычайно важно правильно
выбрать постоянную интегрирования, так как мы намереваемся развить теорию
возмущений, порождающую решения вида
q(/) = ewv(/), (2.9.22)
где v (/) - периодический вектор. Специальный выбор постоянной
9 Черта над А)1* означает усреднение (2.9.13).
132
Глава 2
интегрирования означает, что мы специальным образом выбираем начальные
условия. Так как
Л*д = еАч1 ? (2.9.23)
т ¦ О
мы можем выбрать в виде
ZMD
emat, (2.9.24)
A/i -у ima
тф О
т. е. в виде произведения экспоненциальной функции exp (Л/Ю и
периодической функции. Как будет показано ниже, такой выбор А\Х)
обеспечивает представление q (/) в виде (2.9.12).
Рассмотрим теперь следующий порядок по е - коэффициенты при е2. В
качестве первой строки нашего матричного уравнения мы получаем уравнение
е2:а2+Ч(,2) =? MltA(,l>. (2.9.25)
1=1
Чтобы исследовать структуру его правой части более подробно,
воспользуемся явным видом Мц (см. (2.9.14)) и A\i] (см. (2.9.20),
(2.9.24)).
Разложив периодические функции, входящие в М и А\[), в ряды Фурье, мы
столкнемся с произведениями вида
exp (iсот/ -f iwm't)• (2.9.26)
При
т + т'ф 0 (2.9.27)
это - периодические функции, действительно зависящие от времени i,
при
тфт' = 0 (2.9.28)
- постоянные. Следовательно, правая часть уравнения (2.9.25) представима
в виде
exp [{Alt + Дд) t] (Р(,2> + С|2)). (2.9.29)
Так как экспоненциальные функции выпадают, (2.9.29) состоит из
суммы постоянной Ci2) и периодической функции Pf\ разложение
которой в ряд Фурье не содержит постоянного члена. Выберем
V-( V-> Ml) Ml)
о2=С?= ) ) т (2.9.30)
/ 1 / -I Дд + шш
/=1 тф 0
тогда постоянные члены в правой и левой частях уравнения (2.9.25) взаимно
уничтожатся.
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
133
Уравнение, которое при этом получается для А{2), имеет решение,
