Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
w*(Q = L(f, a)w*(Q, (10.1.6)
решения которых представимы в виде
w*(9 = eVv*(9. (10.1.7)
Как и прежде, мы можем ввести амплитуды 1к и фазовые углы ср*. Если
вещественная часть одного или нескольких собственных значений из (10.1.7)
становится положительной, то можно воспользоваться принципом подчинения.
В разд. 7.6 было показано, что принцип подчинения вполне применим к
стохастическим дифференциальным уравнениям типа Ланжевена-Ито или
Стратоновича. Принцип подчинения позволяет свести исходную систему
уравнений (10.1.2) к системе уравнений для параметров порядка -
соответствующих ^ и <р*. Уравнения параметра порядка оказываются
уравнениями типа (10.1.2), но с измененными N и dF. Влияние флуктуаций и
наш подход к его описанию продемонстрируем сначала на примере.
Влияние шума
329
10.2. Простой пример
Рассмотрим уравнение для параметра порядка
и - Хи- bu3-\-F(t). (10.2.1)
Относительно флуктуирующих сил будем предполагать, что они обладают
следующими свойствами:
(F (0) = 0, (10.2.2)
(F(t)F(tr)) = Q6(t-n. (10.2.3)
Если мы находимся далеко от критической точки X = 0, в которой происходит
потеря устойчивости, то уравнение (10.2.1) достаточно решить приближенно
с помощью линеаризации. При Х<0 уравнение (10.2.1) можно аппроксимировать
уравнением
ii&Xu + F(t), (10.2.4)
так как и - малое отклонение от стационарного состояния. При А->0
произведем замену
ц = и0 + т1, гДе X-bul=0, (10.2.5)
преобразующую уравнения (10.2.1) в уравнение
ц -2Хг] F (/) (10.2.6)
(более высокими степенями ц мы пренебрегаем). Поскольку уравнение
(10.2.6) имеет такой же вид, как и уравнение (10.2.4), а величина ц мала,
достаточно исследовать решения уравнения (10.2.6), представимые в виде
t
ц = [ехр [ - 2X(t-T)]F(x)dx. (10.2.7)
о
(Решение однородного уравнения мы опускаем, поскольку оно выпало бы при
производимом далее предельном переходе.) Соотношение (10.2.3) позволяет
без труда вычислить корреляционную функцию. При t > t' из него
непосредственно следует, что t г
(т](^)ц(С))= П ехр[-2X(t-т)-2X(t'-t')]Q6(t-x')dxdx' = о о
Г ( 4М' _ Л
= J ехр[-2X(t + t')+4Xx')Qdxf = exp[ - 2X(t + t')]Q ------------ ¦
О АХ
(10.2.8)
Если tat' достаточно велики, а разность t-t' конечна, то (10.2.8)
сводится к стационарной корреляционной функции
<Ч(9ч(0> = ехр (-2X\t-t' |). (Ю.2.9)
4А,
Формула (10.2.9) верна при t = t' и t>t\
330
Глава 10
Вблизи критической точки к = 0 линеаризация становится неприменимой. В
этом нетрудно убедиться, взглянув на корреляционную функцию (10.2.9): при
А->-0 правая часть расходится. Такого рода эффекты хорошо известны в
теории фазовых переходов и называются критическими флуктуациями. Однако в
физических системах, находящихся достаточно далеко от теплового
равновесия, и во многих других системах такие флуктуации ограничены, что
с математической точки зрения обусловлено членом - Ьиь в уравнении
(10.2.1). Наиболее изящный подход, позволяющий учесть этот член, основан
на использовании уравнения Фоккера- Планка. Пусть F (/) обладает
свойствами (10.2.2), (10.2.3) и имеет гауссово распределение (см. [1]).
Из разд. 4.2 известно, что уравнение Фоккера-Планка для плотности
вероятности /, соответствующей уравнению Ланжевена (10.2.1), имеет вид
+ (10.2.10)
ди 2 ди2
где
(F (t) F(t')) = Q6(t-t'). (10.2.11)
Как показано в [1], уравнения (10.2.10) допускают стационарное решение
/0 (и) = Jf ехр (№/2- ЬиЧ4)] , (10.2.12)
где Jf - нормировочный множитель. Ветвлению решения детерминистского
уравнения с F (/) == 0 из и = 0 при к < 0 в и+ = = ± У'к/Ь при А>0 теперь
соответствует изменение формы функции распределения (10.2.12): при А<0
она имеет один пик, при Х>0 два пика. При интерпретации этого факта
необходимо соблюдать осторожность, так как /0 - распределение
вероятности: в действительности система может находиться в любой точке и,
но с вероятностью, задаваемой распределением (10.2.12). Ясно, что при А>0
вероятность достигает максимума при и± - ± Ук/Ь. Но в любой заданный
момент система может находиться только в одном состоянии. Возникает
важный вопрос. Предположим, что при / = 0 мы приготовили (или измерили)
систему в некотором начальном состоянии и = щ. Какова вероятность при ^>0
найти систему в другом, конечном состоянии щ? Ответ на этот вопрос
позволяет дать зависящее от времени решение / (и, t) уравнения Фоккера-
Планка с начальным условием / (и, 0) = б (и-Ui). Если дрейфовые
коэффициенты линейны по переменным, а коэффициенты диффузии постоянные,
то такие решения могут быть найдены в явном виде даже для уравнений
Фоккера-Планка в случае нескольких переменных. В конце этого раздела мы
приведем результаты для уравнения Фоккера-Планка в случае одной
переменной, а в разд. 10.4.1 сформулируем общую теорему. Если же
дрейфовые
Влияние шума
331
коэффициенты нелинейны, то даже в случае одной переменной уравнение
Фоккера-Планка приходится решать на ЭВМ численными методами. Краткий
перечень результатов численных расчетов приведен в разд. 10.3.
