Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
MXaM^P = Ffe3, (4.107)
где через М обозначена полная масса системы;
М *¦ mi. (4 • 103)
i
Через Хц.и. обозначен вектор, компонентами которого
являются координаты центра масс (центра инерции):
X^'ZmiXdM, (4.109)
i
101
а через Fve3 - результирующая сила, действующая на тело:
^03 = 2^. (4.110)
I
С другой стороны, если скомбинировать (4.104) и (4.105, И), мы получим:
'"•Si*/, (4Л11)
или, поскольку е -снова произвольный вектор,
У=^, (4.112)
где через J обозначен полный момент импульса тела,
J='?l[xh mtJCi], (4.113)
i
а через <М - полный (вращающий) момент сил, действующих на тело:
М = ^[хи F{\. (4.114)
i
Уравнения (4.107) и (4.112) являются основными уравнениями движения
твердого тела. Первое из них выражает тот факт, что центр масс твердого
тела движется так, как если бы вся масса тела была
сосредоточена
именно в этой точке и все силы действовали бы на нее.
Второе уравнение определяет производную по времени от момента импульса
тела, которая равна полному моменту сил, действующих на тело. Обе эти
величины - полный момент импульса и полный момент сил - вычислены
относительно одной и той же точки, за которую выбрано начало координат
как в (4.113), так и в (4.114).
Займемся на время чистым вращением твердого тела. Мгновенное вращение
можно охарактеризовать вектором о, компоненты которого определяются
согласно (4.103). Скорости частиц, образующих твердое тело, можно найти
по формуле [ср. (4.105,11)]:
л:г = [(о, л:,). (4.115)
Из (4.113) и (4.115) вытекает (имея в виду, что г) = = (xrxi)), что
J = Hmi IXi, [W, *"]] = (2 mrf) W - Hi miXi (Xi ¦ (r))-
* \ i J i
(4.116)
102
Мы можем переписать полученное равенство еще и таю Jk= Dki(r)i, k = x, у,
z, (4.1J7)
1 = х, уi г
где введено обозначение:
Цы = ^lmi {r}8kl - xikxn), k, I = x, g или г, (4.118) i
Из (4.116) или (4.117) видно, что в общем случае вектор J и вектор ю не
совпадают по направлению.
Тензор второй валентности (второго ранга) Dkl (4.118) называется тензором
инерции. Его диагональные элементы носят название моментов инерции, а
недиагональные элементы-моментов девиации. Эти же самые элементы, взятые
с обратным знаком, называются также иногда произведениями инерции. Очень
поучительно перейти сейчас к случаю непрерывного распределения масс.
Формально это означает, что сумму по точечным массам тг мы заменим на
интеграл от/ плотности массы р по объему тела. Мы получим тогда для
компонент тензора инерции:
Dxx = $ р (У2 + г2) d3x, Dxy = - ^ рху dax = Dyx,
°уу = \р (z2 + х2) ^х> = - I pyz dsx = Dzy, (4.119)
Огг = J р (х2 + у2) d3x, Dzx = - J pzx d3x = Dxz,
где через d3x обозначен элемент объема dx dy dz.
Причина, вызвавшая возникновение термина "момент девиации", состоит в
том, что, если недиагональные элементы тензора инерции отличны от нуля,
появляются "силы", стремящиеся изменить направление У [(ср. (4.205)],
если только вектор J не направлен вдоль какой-нибудь из трех главных осей
(см. ниже).
Хорошо известно из теории тензоров второй валентности, что для
симметричного тензора всегда можно подобрать такую ориентацию осей, что
тензор инерции превратится в диагональный тензор. Преобразование к таким
осям носит название преобразования к главным осям, а про тензор говорят,
что он приводится к главным осям. Следует подчеркнуть, что в общем
случае, когда ориентация твердого тела меняется во времени, меняется со
временем и ориентация его главных осей в пространстве. Если только не
оговорено противное, мы всегда будем предполагать, что оси XYZ, жестко
связанные с телом, совпадают с главными осями тензора инерции. Тот факт,
103
что эти оси всегда совпадают с главными осями, указывает на возможные
преимущества описания движения твердого тела в системе XYZ по сравнению с
таким же описанием в системе xyz, неподвижной в пространстве.
Если (4.117) записать в системе координат, совпадающей с главными осями,
эти равенства упрощаются:
J k - Dkak> (4.120)
или
Jx^Ap; Jy*=Bq, ]г*=Ст, (4.121)
где через А, В и С обозначены главные моменты инерции тела.
Из (4.120) или (4.121) видно, что при вращении тела вокруг какой-либо из
его главных осей вектор момента импульса J совпадает по направлению с
вектором угловой скорости (0.
С помощью (4.115) можно получить выражение для кинетической энергии
вращательного движения в виде:
Т = Z'l! ,Ui= щ ^ ^ I
i i к, I
(4.122)
или же, если оси х, у, z направлены вдоль главных осей, Т = \Ар' +
\В(Р+\-Сг*. (4.123
Если тело движется с линейной скоростью v и одно временно, вращается с
угловой скоростью ю, вместо (4.115) мы получим:
.fcj = (c)+[wf jc,]f (4.124)
а (4.122) заменится на
7, = уМг"2 + ~ ^D/,,co/,co/J-((c)- [o), J), (4.125)
к, I
где М и Хпопределяются согласно (4.108) и (4.109). Если выбрать начало
координат в центре масс, последний член в правой части (4.125) обращается
в нуль и кинетическая энергия превращается в сумму энергий
поступательного и вращательного движения:
71 = у +(4.126) к,1
104
есть еще три связи типа (2.108), которые оставляют системе всего лишь
