Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 14. Межатомный потенциал U в зависимости от расстояния между атомами
г; г0- положение равновесия.
81
Стандартными методами (которые лишь слегка усложняются тем, что корень К
= 0 - пятикратный) мы найдем следующие значения Кт и соответствующие им
Qm [или, может быть, точнее: мы найдем, что мы можем выбрать Q1( Qa> Q3,
Qi, Qb и Q0 в том виде, который приведен в (3.308)]:
?ч = 0, = Qi = rV^\
Яа = 0, Q3=y/M; h = 0, Q5 = /-01/M;
^з = 0, Q3 = ZVM; - 0, Qo = ГйУГ\ь sin 90cp.
(3.308)
Из шести нормальных координат пять - циклические: Qi, Qz> Qb и Qe- Из них
Qi, Qa и Q3 соответствуют трансляциям, тогда как Qb и Q6 соответствуют
поворотам. Единственная нециклическая координата Q4 соответствует
колебаниям вдоль оси молекулы.
Представляет интерес свести рассматриваемую задачу сначала к двумерной, а
затем и к одномерной. Этого можно добиться, игнорируя сначала Z и ср, а
затем игнорируя У и 0, используя в обоих случаях подходящим образом
выбранную функцию Рауса, по методу, изложенному в § 2.4. В исходной
задаче было шесть степеней свободы, пять из которых (три трансляционные и
две вращательные) были циклическими. В двумерном случае мы опускаем в
.лагранжиане (3.303) члены и
1/2fx/'2 sin2 0 ф2. Теперь уже остаются четыре степени свободы,
соответствующие Qlt Q2, Qi и Qb> ТРИ из которых (две трансляционные Qx и
Q2 и одна вращательная Q6) являются циклическими. Одномерный случай,
который получается отбрасыванием членов и 1/2fхг202, имеет
две степени свободы Qi и Q2, из которых Qi - трансляционная (циклическая)
степень. В этом случае очень несложно избавиться от циклических степеней
свободы, но это далеко не всегда так. В общем случае исключение движения
центра масс, например, системы многих частиц приводит к уравнениям куда
более сложным, чем исходные.
Сейчас мы займемся трехатомными молекулами, но ограничимся лишь типом AM.
Прежде всего мы рассмот-
82
рим молекулу Л2В, равновесная конфигурация которой нелинейна (см. рис.
15, а). Примером такой молекулы служит молекула воды. Обозначим через х
радиус-вектор атома В (массу его обозначаем через тв) и через хгп х2 -
радиус-векторы атомов А (с массами тА). Координатные
Рис. 15. а) Равновесная конфигураций молекулы Л2В; б) две неравновесные
конфигурации молекулы Аф с одинаковой потенциальной энергией.
оси можно выбрать таким образом, что в положении равновесия
х=у=г= 0;
*i = Ь, У\ = с. zi = 0; x2 = - Ь, у2 = с, г2 = 0. Кинетическая энергия
молекулы представится в виде;
Т =|тл (% + (А + Ц + + у\ + 2J) + ,пи (X2 + у2 + z2),
(3.310)
а потенциальная энергия (аг = Ьй-]-съ, см. рис. 15, а)
U = у а [(| д-j - л; | - af + (| л:2 - л:) - а)2] +
+ |р(|л:1-л:2|-2 Ь)\ (3.311)
Можно воспользоваться в качестве координат величинами: х, у, z, хг - Ь,
У\ - с, zlt х2-\-Ь, у^ - с и гг. Если обозначить эти координаты
штрихованными буквами у', z', х[, у[, z'j, *2, г/2 и то в предельном
случае малых колебаний придем к следующему выражению для потенциальной
энергии:
и = ^[Ь2(х'-х1У + сЧу'-у[)> +
+ 2 Ъс {у' - у[) (х' - х[) + b2 (*' - дгЭ* + с2 (у' - i/О2 -
- 2be (х' - х!2) (у' - г/а)] + Р (*1 - х^1. (3.312)
83
Заметим, что координаты г', z\ п г', - циклические. Этого следовало
ожидать, поскольку трехмерные задачи с девятью степенями свободы обладают
шестью циклическими степенями свободы (три вращательные п три
трансляционные), тогда как двумерные задачи с шестью степенями свободы
имеют три циклические степени свободы (одну вращательную и две
трансляционные), причем в обоих случаях у нас остаются три нециклические
степени свободы.
Удобно ввести другой набор координат по формулам:
Qi!=ш х " Яг ~ У I Яя= z >
~2 {x[Jr X*), Яъ- 2" (Л"1 ~~ *2)> Яй~ 2 (!'1~ У-г)> (3.313)
Я-1 - Y (y'l "Ь Яа = у (г1 - Яч = '2 (г1 "1" 20*
Для выяснения смысла введения этих координат рассмотрим две конфигурации
молекулы, изображенные на рис. 15,6, где
Х = - х, = - ЛГ2, I, = -
9 = У< Ul = /Л" U2 ~ Уъ /о о 1 я ч
2 = 2, 2j - ~2 = гг
(или 2 = -2, g1==- г., = - ^).
Из соображений симметрии непосредственно вытекает, что потенциальная
энергия в обоих случаях одна и та же. Из этого следует, что потенциальная
энергия должна быть инвариантной при следующих преобразованиях:
<71 -"--<7i. Яг -->¦ Яз~"Яз (или <7з -"- <7з).
Яi-^ - Ял, Яь^Яы Яя^Яз (или q^-qs), (3.315)
Яв~*~ Яч< Я- ->¦ <7т. -> а3 (или <7Я -"- я.,).
Это означает, что в потенциальную энергию не долх^ы входить члены,
содержащие произведения следующих трех групп переменных: (qu qit q6),
(q2, qb, q7) и (<73, <7g, <7e). Но это в свою очередь означает, что
секулярпсе уравнение может быть представлено в виде произведения, что
позволяет нам найти как собственные значения, так п нормальные моды
колебаний. Потенциальная энергия, записанная через qlt имеет вид:
U = (а/а2) [Ь* (о, -f q\ + q\ - 2qtqJ с- (q\ -f ql + q2 - 2q.1q7) - - 2be
(<7,<7e -I- q2q& - q4q0 - q;,q7)\ -|- 2$q\, (3,316)
a секулярное уравнение может быть факторизовано на "4
трк боле" простых уравнения:
