Термодинамика необратимых процессов - Гроот С.Р.
Скачать (прямая ссылка):
значки т, то полу-
чим, как и в § 9:
Д?/ = Д<? + /гДЛ/, (66)
которое в точности соответствует выражению (48), где ДQ обозначено через
J'{j (ср. (5) и (6)).
Теплота переноса Q* (59) и (60) используется и в ста-
рой псевдотермостатической теории Вагнера и Истмена. Там она
рассматривается как теплота, воспринятая резервуаром I при температуре Т
и отданная частью в резервуар II при температуре Г-f Д71, если в пего из
резервуара I переходит единица массы при неизменном давлении, и так,
чтобы температуры в обоих резервуарах не менялись.
§ 12*. Приведение матриц феноменологических коэффициентов к диагональной
форме
Так как матрицы коэффициентов Lih являются симметричными, можно линейным
преобразованием потоков и сил придать феноменологическому закону такую
форму, в которой все перекрестные коэффициенты обращаются в нуль. Это
обстоятельство доказывается в главе XI. Однако, интересно отметить, что в
разбираемом здесь примере можно привести матрицы к диагональной форме
следующим преобразованием:
J'u' = Ju - U*Jm, (67)
(68)
где
U* = ^, a Ln - L21 -^11
4*
52 ОДНОКОМПОНЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
Так же, как и в предыдущих параграфах, находим выражения сил
X'j}' = XUf (69)
X? = XU + U*XV. (70)
Если подставить выражения потоков из первоначальной формы
феноменологического закона (9) и (10) в выражения (67) и (68), а также
исключить силы при помощи выражений (69) и (70), можно, воспользовавшись
формулой U* = и соотношением Онзагера L12 = L21,
получить другое выражение феноменологического закона в виде
J'm = L'^'X'm -f Ь'^'Х'й', (71)
Jb" = L'-X'A' + L'-Xu. (72)
Коэффициенты будут иметь значение
(73)
(74)
^, (75)
- L1V
и" = 0,
- ^22 1 1ь Н?
так что перекрестные элементы исчезают. Поэтому при изотермическом
состоянии выражение (72) обращается
L,ff
в нуль, и соответственно исчезает энергия переноса ~
¦*->л
' /ft
§ 13*. Смещение нуля отсчета энергии
К численному значению энергии можно прибавить произвольную постоянную
ию = и + С. (76)
Поэтому, если С - сМ, то
к(2) = и И- с,
1№ = п-±с, }. (77)
р<2> = [1 -f С.
§ 13] СМЕЩЕНИЕ НУЛЯ ОТСЧЕТА ЭНЕРГИИ 53
Исходя из выражений (76) и (77), напишем для энер-
гии переноса
Jij - Ju + cJм, (78)
а для переноса массы получим:
/$ = /м- (79)
При этом силы представляются следующими выражениями:
X(r) = XUt (80)
X(S^XM-cXu= -д(±-)_сд (-А-) = -Д (^) (81)
Как видно, эти выражения в точности соответствуют первоначальным
значениям сил (14). Такая же операция, которая выполнена в § 12 для
определения новых значений коэффициентов, приводит к выражениям (71) и
(72), но со значками z:
ltf = Lu, (82)
= L12 + cLn = L21 + cLlv (83)
¦^22)==^/22 + C(^12 + ^/2l) + c2^/ll- (84)
Таким образом, устанавливается влияние смещения нуля отсчета энергии на
феноменологические коэффициенты. Выражение энергии переноса при этом
получает вид
U*m - ^ + с = Z7* + с, (85)
в то время как теплота переноса (20) остается без изменения, так как (77)
и (85) дают:
Q*w==U*m-hm = U* - k = Q*. (86)
Следовательно, остаются без изменения и формулы (22) и (23).
В нижеследующей таблице приведены различные формы выражения потоков,
соотношений для изотермического состояния и количеств переноса.
54
ОДНОКОМПОНЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
§ Поток Изотермическое соотношение Количество переноса
9 Ju Ju = U*JM (19) U* (19)
10 J'v=Ju~^M (33) J{j = TS*JM (42) TS* = V*-y. (43)
И J'u = Ju-hJM (48) ju = Q*jm (59) Q* = U* - h (60)
12 J'xj' z=Ju~~V*JМ(Щ *¦4 if о U* - U* = 0
13 J\j^ = Jjj + CJM (78) jy*(2) = C7* +c (85)
§ 14*. Перенос тепла в газе Кнудсена
Для определения теплоты переноса в газе Кнудсена представим себе, что
идеальный газ заключен в два резервуара, соединенных между собой
отверстием, значительно меньшим длины свободного пробега молекул. Это
значит, что каждая молекула, попавшая в отверстие, свободно проходит
через него.
Пусть направление координатной оси х будет перпендикулярно к плоскости
отверстия. Отметим полярный угол 0, отсчитываемый от оси х, и
азимутальный угол ср. Молекулы, поступающие в единицу времени к плоскости
сечения отверстия А со скоростью v, заключены в объеме
vxA = vA cos 9. (87)
Число молекул в единице объема, имеющих скорость в пределах v, v-\-dv и
движущихся в телесном угле dm, будет:
nfv2dvdui - nfv2dv sin QdQdy, (88)
где в = ^-общее число молекул в единице объема,
§ 14] ПЕРЕНОС ТЕПЛА В ГАЗЕ КНУДСЕНА 55
/ - функция Максвелла распределения скоростей молекул:
/=[^1г]2ехР [~\тфТт] • <89)
Тогда число молекул, проходящих через единицу сечения отверстия в единицу
времени со скоростью в пределах v и v-{-dv, найдется из выражений (87) и
(88):
П
2тс "2"
z0dv= ^ ^ vxnfv2 dv ri(u. (90)
ср-0 0-0
При этом интегрирование проводится по половине сферы. В результате
интегрирования получаем:
zvdv = itnfv3 dv. (91)
Теперь легко найти среднюю энергию молекул, проходящих через отверстие,
используя формулы (91) и (89). Она будет равна:
ОО
^ mv2zv dv
= ------=2 кТ. (92)
2 г
\ zv dv
о
Тогда энергия переноса, отнесенная к единице массы, будет:
