Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
Ландау, выберем поперечную часть фотонной функции Грина в виде
1 / и и \
(5.23)
в* - - (б - k^kv
и покажем, что при этом расходимости в Г действительно исчезают: d4k 1 1
/Г) \4*7ск л f 1(Л
{2тг) г ш - + /с rn - р2 + к
ll3Da/3(k) =
= еп
d4k
(2ir)4i
d4k (2тт )4i
1 1 1 f 1 1 f 1 :'чч1ч-кгчк^
к6
Первое слагаемое содержит kikj, в силу симметрии, при i Ф j интеграл от
него равен нулю, т. е.
kikj
5 -к2 - J 4
7с7г7м7г7с = 47м,
т. е. главные вклады в интеграл сократятся. Можно показать, что во втором
порядке главный член ~ In2 А2 /р2 исчезнет и останется член а$\пА2/р2,
которым мы пренебрегаем в нашем приближении. Аналогичную работу можно
проделать и для G; в результате, в главном логарифмическом приближении
получим
Гд = 7м + 0(ео)>
G{p) - -т + 0(ео).
Теперь вычислим в этом приближении. Очевидно,
(5.24)
284
Глава 5. Трудности квантовой электродинамики
поскольку Гм = 7М. В справедливости (5.25) можно убедиться и
непосредственным вычислением диаграмм более высоких порядков:
----+------
+ •
В них логарифмические вклады сократятся. Таким образом, в логарифмическом
приближении вычисление поляризационного оператора сводится к вычислению
простейшей диаграммы.
Вычислим П^(к) - ПдгДО):
П^(к) - ПД1/(0) =
d4p
= -е\
"/
(27г)4г
tSp 7м
1
га - р
га - р + к гп - р
}•
Разложим в ряд по степеням к выражение (га - р + к)
-1.
1
1
1 1
1
m-p + k rri - р гп- р гп - р гп- р гп - р гп- р
(5.26)
(5.27)
Первый член (5.27) сократится в подынтегральном выражении, второй даст
нуль из-за симметрии при вычислении интеграла. Действительно,
fd4p 1 1.1 [
/ ГО 44-SP^~>~fc~ = /
J (2тг)4г V V V J
d4p с lu,piupkp
(2тт)4г
:Sp
р°
= 0.
Третий член (5.27) как раз и дает логарифмическую расходимость, таким
образом, будем иметь
и^(к) - Пд"(0) = - el
(5.28)
Так как
то
(27г)4г ' р р р р
П(ли - (dfivk кцк^П^к ),
Щ=зк2пс(к2).
С другой стороны, из (5.28)
3/с2П(/с2) = 2el J
(27г)4г pz р р
5.2. Проблема нуля заряда в квантовой электродинамике
285
поскольку
1 1 = JyPlvP 2р2 = 2
р4 р4 р2
После некоторых преобразований получим
П(/с2) = --el f v ; 3 °7 (2тг)Чр4
Введя ip'Q = ро, т. е. разворачивая контур интегрирования, как обычно,
евклидовым образом, будем иметь
n('2)=-r"f (W- (5-29)
Так как
л4 2 7 2 2 2 7 2
а р = р ар - = 7г р ар ,
то
n'*,> = -r&l,,F = - (5-30)
Таким образом, в логарифмическом приближении
п _ ^ 1 ^ 1 /к о 1 \
u"v - k* 1 - П(Р) + 1 j
Это неперенормированная функция Грина. Как ее перенормировать? Обозначим
d =----------ту. (5.32)
Это выражение можно переписать так:
1
d =
l + fMn# + f4n^|-f4n^|
Зтг kz Зтг mz Зтг mz
1 11
1 + fMn^-fMn-^ 1 + f2- In i ^ in
37Г 37Г mz Зтг mz 1 -
1+^0 In Л2
Обозначим
(5.33)
286
Глава 5. Трудности квантовой электродинамики
тогда
d = ---га- =--------Г2-• (5.35)
1 - In К 1-^1пК
Зтг mz о7г т2
Таким образом, параметр обрезания вошел в постоянную перенормировки Z3 и
в физический заряд ес, и то, что нам удалось вынести Z3 за скобку, есть
как раз свойство перенормируемости теории.
С другой стороны, мы получили
ас = -------да-. (5.36)
о7г mz
Казалось бы, все хорошо: ас < а^, как и должно быть из-за поляризации
вакуума. Однако если устремим Л -> оо, то
Зтг
ас = -дз > 0 при Л -> оо, (5.37)
In ^2
mz
т. е. при любом затравочном заряде (а мы считали <С 0) он полностью
экранируется в этом пределе, так что ас = 0. Это может означать, что
такой подход неверен на малых расстояниях, но если есть такое расстояние,
где электродинамика становится несправедливой, мы из этого расстояния
может вычислить ас и, наоборот, вычислить Л по значению ас = 1/137. Из
(5.37) вытекает
Л2 з*
---- r^j е .
о 5
mz
откуда 1/Л ~ Ю-50 ст.
Ситуация несколько изменяется, если учесть вклад в поляризацию вакуума от
разных сортов частиц. Если имеется, допустим, v различных частиц со
спином 1/2, то (5.36) изменится так:
ас =-------------пг. (5.38)
1 + г^1пл| v '
о7г mz
Тогда, если принять, что квантовая электродинамика перестает работать на
расстояниях порядка планковской длины, т. е. 1р = = VG~ IO-33 (G-
ньютоновская гравитационная постоянная), то получим, что возможное число
сортов частиц
v ~ 12.
5.2. Проблема нуля заряда в квантовой электродинамике
287
Хуже обстоит дело с функцией Грина, так как выражение
при фиксированном ас имеет полюс в области к2 < 0, т. е. возникают
частицы с мнимой массой. Впрочем, в некотором смысле, это искусственная
трудность, поскольку в нашей теории Л = оо, т. е. ас = 0. И полюса нет,
но при этом нет и взаимодействия.
Эта проблема до сих пор не решена1. И если в квантовой электродинамике
такая трудность возникает на безумно малых расстояниях из-за малости ас,
т. е. в реальных ситуациях она несущественна, то в сильных
взаимодействиях, где константа связи g ~ 1, мы сразу с ней
1 Остался черновик работы В.Н.Грибова "Квантовая электродинамика на
малых расстояниях", которую он подготовил как дополнительный параграф
этой главы. Он планировал обсудить там возможное решение проблемы нуля
