Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
момент t\ частица находилась в точке 1*1.
10
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
Если у нас имеется полная система решений стационарного уравнения
Шредингера
#фп(г,г) = Епя?п(г,г), (1.5)
то функцию К можно записать в виде
K(r2,t2;r1,t1) = ?фп(г2,г2)ф*(г1,г1). (1.6)
П
Очевидно, что эта функция удовлетворяет уравнению (1.1) (так как ему
удовлетворяет Фп(г2,^)), а из условия полноты системы {Фп} следует
выполнение начального условия (1.3):
K(r2,t2;r1,t1) = ?ф"(г2)ф*(г1) = <5(ri -г2),
П
т. е. (1.6) действительно есть функция распространения.
Определим функцию распространения для свободной частицы:
(i 7"
Решением (1.7) является
Ф"(г, t) = e*pr-^2/2m)t , Еп = |^. (1.8)
Это решение принадлежит сплошному спектру, поскольку импульс, который
определяет данное состояние, может принимать любые значения. Поэтому в
(1.6) от суммирования нужно перейти к интегрированию по всем состояниям.
Известно, что в интервале от р до р + dp содержится d3p/(2тг)3 квантовых
состояний, поэтому в (1.6) нужно сделать замену:
? ^ / d3p/(2тг)3 , п J
т. е. для свободной частицы получаем
d3p
Kq(y2, t2; Г1, ii) = [ AP^pr2-b(p2/2m)t2e-ipr1+b(p2/2m)t1 =
J {^)
(2тг)я • 1 J
/
1.1. Функция распространения
11
Легко видеть, что Ко удовлетворяет уравнению (1.1) и правильному
начальному условию
А'"|й-=/
Из (1.9) также следует, что Ко в действительности является функцией
только двух переменных: Kq = Ko(r,t), где г = Г2 - ri, t = - t\.
Это не удивительно, поскольку амплитуда перехода из ri, t\ в Г2, для
свободной частицы, если пространство и время однородны, не должны
зависеть от положения и момента времени.
Интеграл в (1.9) берется в явном виде:
K0(r,t) = I
А "гъг-гЬ2/2шМ ( 2т\
те
грг-г{р /2m)t _____ / ni I ^гг m/2t
(27Г)3 \mt)
Очень естественно функции распространения сопоставить линию
1*1, h Г2,t2
Пусть теперь частица движется во внешнем поле, которое описывается
потенциалом V(r,t). Рассмотрим амплитуду перехода частицы из ri, в Г2,^2-
При этом возможны следующие процессы.
1. Частица переходит из ri,ti в Г2,^2, не взаимодействуя с внешним
полем:
^o(r2,i2;ri,ii)
ri,tl Г 2,t2 ' ' ' (1.10)
12 > 11
2. Частица свободно распространяется до некоторой точки г', в этой
точке частица взаимодействует с внешним полем и далее свободно
распространяется до Г2,^2- Этот процесс изобразим графически так:
Г 1^1_________________________________Г2, t2 ^
Чтобы найти амплитуду этого процесса, воспользуемся следующими
соображениями. Волновая функция частицы во внешнем поле удовлетворяет
уравнению
г- =Я0Ф + УФ. at
12
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
За время At волновая функция изменяется на величину
ДФ = -iH^At - iV^At.
Первое слагаемое в правой части соответствует изменению волновой функции
при свободном движении, которое уже учтено в (1.10). Таким образом,
взаимодействие с внешним полем приводит к изменению волновой функции
= -iV^At .
То есть амплитуду процесса (1.11) можно записать в виде
K1(r2,t2;r1,t1) = j K0(r2,t2;r' ,t')[-iV(r' ,t')\K0(r' ,t';r1,t1)d3r'dt'.
(1.12)
Интегрирование в (1.12) соответствует суммированию амплитуд со
всевозможными положениями точки (rf,tf).
3. Следующим является процесс, когда частица дважды взаимодействует с
полем в точках (г',?') и (гп ,tn):
ri,ti______________IV_________________Г" t"_____________Г2,t2
Амплитуду этого процесса можно записать аналогично (1.12):
K2(r2,t2;r1,t1) = J K0(r2,t2;r" ,t")[-iV(r" ,t")\K0(r" ,t') x
x [-iV(r',t')]Ko(r',t';ri,ti)d3r"d3r'dt"dt', (1-13)
t\ < t' < t" < t2 •
Аналогичные рассуждения можно провести для случая трех и более
взаимодействий. Полная амплитуда перехода if (г 2, ^2; ri, t\) будет
равна сумме всех таких амплитуд:
оо
K(r2,t2',*iM) = 'Y^/Kn{r2,t2\r1,ti). (1.14)
п=0
Теперь покажем, что полученная таким образом К есть действительно функция
распространения частицы во внешнем поле.
Работая с функциями Кп, мы связаны необходимостью заботиться о правильной
последовательности времен. Чтобы избавиться от этого
1.1. Функция распространения
13
неудобства, введем новую функцию
Gn(r2,t2;r1,t1) = 0(t2 - ti)Kn(r2,t2;r1,ti), G{r2,t2;ri,ti) =
K(v2,t2\Y1,t1),
(1.15)
где
Тем самым правильная последовательность времен будет соблюдаться
автоматически. Функция G называется функцией Грина. Выясним, какому
уравнению она удовлетворяет. Подействуем на G оператором id/dt - H(r, t).
Если функция К удовлетворяет уравнению Шрединге-ра, то, учитывая, что
Здесь мы учли, что оператор Н(г, t) не содержит дифференцирования по
времени, а также условие (1.3). Таким образом, функция Грина будет
удовлетворять уже неоднородному уравнению:
В дальнейшем каждой диаграмме будем сопоставлять соответствующую функцию
Грина. Например:
|ед = т.
(1.16)
получим:
О d
i--H(r2,t2) G{v2,t2;v1,ti) = K{Y2,t2;r1,ti)i-9{t2-ti)
= iS(r2 - ri)5(i2 - h).
H(r2,t2) G(r2,t2;ri,ti) =iS(r2-r1)5(t2-ti). (1.17)
ri,ti
r2,t2 Go(r2,?2;ri,?i),
ri,ii
r2,t2
x [-iV(г', ^)](7о(г', t'; ri,ti)dt'd3r'
и т.д.
14
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
