Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
поверхности ударника в связанной с ударником системе координат, е3-орт
инерциальной системы координат. Интеграл понимается в
смысле регуляризованного значения с учетом особенностей ядра (2.129).
Граничная поверхность ударника задана соотношениями (3.1) или (3.17),
а кинематические параметры его движения определяются системой
дифференциальных уравнений (3.4)-(3.6) совместно с начальными условиями
(3.8). Входящие в правые части уравнений контактные силы и моменты для
данного типа контакта согласно (3.12) определяются так:
= R2 - М3 = О, 7?д(т) = JJ Т{хj, х2у i)dxydx2,
0(т)
Ml(T) = -t/c2(T)J?3(r) + М01(т),
Щг) = "ciW^W + мог(т)' (6-2)
М01(т) " ffx2T(xJ, х2, T)dxxdxv С(т)
MQ2(r) = - // Х{Г(ХJ, Х2, r)dxxdxv Q(r)
Граница Эй области контакта неявно задается уравнениями (3.14) или
(3.18), где необходимо положить х3 = 0.
Таким образом, система функциональных уравнений (6.1),
(3.1), (3,4)-(3.6), (3.8), (6.2) и (3.14) является замкнутой и позволяет
определить движение ударника и контактные напряжения в любой момент
взаимодействия. Ее решение будет описывать реальный процесс
взаимодействия до того момента времени, пока контактные напряжения Т
отрицательны в области контакта Q. Для учета одностороннего контакта
(возможной многосвязности области ?2) к уравнениям (3.14) необходимо
добавить неравенство Т < О в ?2. Последнее обстоятельство вносит
существенную нелинейность в задачу и может быть реализовано итерационным
процессом, который далее рассматриваться не будет.
285
Отметим, что начальные условия (3.8) для гладких выпуклых ударников
не могут выбираться произвольно и связаны соотношениями (3.16).
2. Плоскопараллельное движение ударника. Такой вид движения, как
отмечено в § 3.5, обеспечивается массовой и геометрической симметрией
(3.98) ударника, равенством нулю соответствующих координат внешних сил и
моментов (3.100) и ограничениями на начальные условия (3.101).
Интегральное уравнение (6.1) сохраняет свой вид. Необходимо только
учесть симметрию относительно оси Ох2 области
контакта Q и четность функций w и Т:
w(xp -х2, т) = х2, т), Т(хj, -х2, т) = Т(хр х2, т). (6.3)
Движение ударника определяется начальной задачей (3.107), где
необходимо положить R^ = 0. Входящие в правые части
контактная сила R3 и момент М2 задаются формулами (6.2).
Левая часть уравнения (6.1) может быть найдена из (3.108) и (3.109)
при ис2 = 0:
гК*!" *2, т) = иа - у, sin fl + f(yv хг) cos fl,
(6-4>
х\ = "с1 +¦ У| cos ^ + f(yx, х2) sin fl,
где у3=/(у1,у2)-уравнение поверхности П0, ограничивающей ударник.
Уравнение границы дй области контакта следует из соотношений (3.109)
и (3.110):
dfi: (Xj - иЛ) sin fl - / [(Xj - ucl) cos fl + uc3 sin fl, x2
]= uc3 cos fl.
(6.5)
Таким образом, в этом случае замкнутую систему разрешающих уравнений
контактной задачи образуют соотношения (6.1),
(6.2), (6.4), (6.5) и (3.107). Начальные условия связаны
соотношениями (3.113).
Отметим, что для трех рассмотренных ранее типов алгебраических
поверхностей при использовании ущющенного геометрического соотношения
(6.5) границей дС2 области контакта является эллипс, определяемый
формулами (3.115)-(3.123).
3. Плоская контактная задача. В этом случае ударник ограничен
цилиндрической поверхностью (3.125). Искомые функции зависят только от
координаты xt = х. Область контакта fl
является отрезком, границы которого определяются уравнением (3.127) (см.
также § 4.1):
?2 = [ар аг], в/ = иЛ + а2р а, = ил + V
(6.6)
Zj sin fl - /(zj cos fl + uc3 sin fl) = uc3 cos fl, Zj = alr, a2l-
286
Интегральное уравнение относительно контактных напряжений имеет вид
т "до
tv(x, г) = j dt / Gj(x - g, x - t) Г(|, t)d?,
(6.7)
0 aft)
где ядро x) есть решение плоской задачи Лэмба и
определяется формулами (2.67) с учетом безразмерных параметров (2.69).
Заметим, что уравнение (6.7) следует из (6.1), где необходимо
положить Г(?, 12, 0 = Г(|, t) и w(x, х2, х) = w(x, х). При
этом аналогично (5.12)-(5.17) непосредственным вычислением интеграла от G
можно показать, что справедливо равенство
00
Gf(x, т-) =s j* G(x, x2, r)dx2.
(6.8)
- 00
Левая часть уравнения (6.7) следует из уравнений (3.126) граничной
поверхности ударника аналогично (6.4):
