Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
-00
Г(х,у,т) = rfl(Vx2 + /,т).
(5.13) I
224
Используя формулу (2.97) для Га(л т) получим
Г2(х, г) = - - Р 1(т, х)-~ /j(r, х) + /2(т, х),
2 2тп?4 0 да/4 1 z
,"-i.V7f7S^V?T7)'iy'
= 2Я(г - 1х!)
Зг2/5(у)
.2 2.1/2 ,,2 2.1 /2-[
о 'о
(5.14)
у2 - / 31.2 ;%^ д(т - ) лу -
(ж2 + у2) = 2Н(х - г] 1x1)
ш - /
.,2.2 2.1/2 о 2г / ч ~* ) 2Т , л
Зт /,(у) - >7 АО)
5 lo d
,2,2 2.1/2-, (Т /)? -X )
j^2L
(у2 + Х2)"172'
Рассмотрим интеграл /Q(r, х). По формуле разложения дельта-функции
Дирака найдем
<5 jr - six1 + 7] =0 (r<lxl),
- Vx2 + = aj/(y)j *6(у~ уО +
1
+ д(у - Vt1 - xz II (т > Ixl), (5.15) /(у) - г - Vx2
+ /, /(у) = --7^=^:, /(У12) = 0,
V777
1,2
= ±V7^ocT.
8 А.Г.Горшков, Д.В.Тарлаковский
225
Таким образом, для 1^(т, х) получаем следующее выражение:
1(г Х) = Я-(т-~ v,*)
- J j^+vTr?)
- 00 I-
+ d(y-dy = 2^1. . (5.16)1
J Vt -л?
Для неопределенного интеграла /^(у) в (5.14) имеем следую-|
щую рекуррентную формулу [145]:
У
3 - т
/"<У> **<2 - m)t? + "2)"/2-1 + **(2 - т) /"'-г0')
/j(y) = In у + Vjc2 + /|.
Отсюда получим
(т > 2),(
Л(у)
(г2-*2)1/2 г,. + Vr? - *2
"?1 = J72 =
. 2 2.1/2 <V* >
1
(2 - m)x2
rt-2 + (3 - тУт-г<У)
(г2-*2)"2
¦w
2-*2)1/2 Vt2-^2
(m > 2)s
(5.17) I
rx
3*
+ 2/,(y)
, 2 2.1/2
-2~2 + 2r2
2"2
3rV
V
Подставляя (5.16) и (5.17) в формулы (5.14), после необходимых
преобразований получим, что Г2(х, т) = Т^(х, т), где
Гу-функция влияния для плоской задачи, определяемая выра-
226
г
жениями (2.57). Сравнивая теперь (5.13) и (4.12), найдем, что эти
представления совпадают, если cos (п, х) заменить соответствующими
выражениями.
§ 5.2. Интегральное представление контактных напряжений в
осесимметричной задаче
Формула (5.11) для контактных напряжений существенно упрощается в
случае осесимметричной задачи. Положим, что напряжения и перемещения
зависят только от радиуса г =
= V х2 + у, область контакта Я является кругом радиуса а2(т),
а область D-тело вращения вокруг оси От (см. рис. 5.1):
°ззо = стззо(г'т)' w3 = wz('r'т)' Q = К*'1 г ~ <5Л8)
Во внутреннем двойном интеграле по ?2(t) в (5.11) перейдем к полярным
координатам:
х = г cos д, у = г sin d, = р cos <р, ?2 = р sin f,
р2 = + i2, (х - Ij)2 + (у - i2)2 = r2 + p2-2rp COS a, (5.19)
a = <p - d.
При этом учтем следующие соотношения: div3 ^dw3 др ^ div3 dw3 ^
div3
д?х др р др ' а|2 р др '
(5.2°)
ди/, du>
^ ~ ^ ~д?[ + ^ ^ =
= р к* _ + (у ~ ^2^2^ =
1 д(tm)3 2 д(tm)3
= - (/р cos # cos f Л- rp sin Ь sin <р - р ) = (г cos а - р)
В результате получим " (х
- dw, у -
// 737а|" + Т^Та|ГГ(х-^1,дс-^2>т_^^1^2 = ?2(0 1
1 * aw" -
= 731 / /("¦""" "А>)х
о
8*
227
4°s",
x re(V/^ + p2 - 2rp cos a, r - t) da = J ^ 0(r, p,r - t) dp,
(5.21)
~ * __________________________________ v
0(r, p, r) = J (r cos a - р)Та^г* + - 2r cos a, rj da.
Для преобразования поверхностного интеграла в (5.13) зададим
параметризацию поверхности вращения таким образом:
dD^.B^R3, г = (ars2),
ll = a2(<) cos ?2 = a2(<) sin f, p = # + a, (5.22>
5 = {(f, a) I *2:0, 0 ^ a < 2л},
где углы $ и а определяются соотношениями (5.19).
Тоща для вектора внешней нормали л к поверхности 6Dl
получим (см. рис. 5.1):
п = rjj = a2(-a2, C0Sf, sinp),
= a2(0, - sin cos ?>), rj = (1, a2 cos y>, a2 sin y>), (5.23)
I nl = a V0^+ 1, cos (я, I ) = - , cos (я, ? ) = -Щ?=
Va2+ 1 Va2+ 1
Используя (5.18) и (5.23), представим поверхностный интеграл в формуле
(5.13) так:
^1 ь. У ~~ ^2
cos (я, cos (л,
