Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
¦V
"№ = "Л' lU)
которые сводятся к следующим интегральным характеристикам- результирующей
силе и моменту относительно точки О:
R(k) = JJ j<k) ds< = [r,Tf]dS. (1.9)
№ ПЛП.
Частным случаем условий (1.8) является свободная несмочен-ная
поверхность: = 0. В случае, если тело является
неограниченным, для выделения однозначного решения необходимо добавить
условия на бесконечности. Оно, как правило, заключается в требовании
отсутствия возмущений в бесконечно удаленных точках.
Условия контакта взаимодействующих тел могут быть различными в
зависимости от физической природы задачи. Возможные варианты этих условий
рассматриваются в следующем параграфе.
§ 1.2. Условия контакта
В рассматриваемых задачах о динамическом контакте тел, ограниченных
выпуклыми поверхностями, в дополнение к обычным вопросам о задании типа
контакта добавляется проблема определения в каждый момент времени области
контакта П+.
Наибольшее распространение имеют задачи с односторонним контактом:
контактирующие поверхности могут воспринимать только сжимающие
напряжения.
По известному закону движения каждой точки к-й среды (1.2) с учетом
соотношений (1.1) могут быть записаны параметрические представления
поверхностей П^ в инерциальной
системе координат:
П,- ({"{"<) =
" гоп({Г'if) + *$(№if<') (if'if) е °Г <uo>
10
Ik) = Ik)
• ГТ '
rn
t(*)=t(0: s3 s,
M _ _(*) I' Г0П " r0
ь(*)=ь(*)' b3 s*
ь(*)=ь(*)' s3 s*
_(*) _ v(*)e Г = Jk) e ylk) _
(*)
rn " m e/> ron ion i' wn in er
Векторное представление (1.10) эквивалентно трем скалярным
соотношениям:
(1.11)
которые можно рассматривать, как систему, неявно задающую
- равнение поверхности в декартовой системе координат
ПА: х3 = fk(xv х2, t) (xvx2) ей^, (1.12)
где Q,-проекция на плоскость Ох^х^. Тогда область контакта
П определяется следующими условиями:
П* = П, П П2: rg> 42), t) = rg> (If), 42), t) ,
°ип < 0 (ifUf) ZDktCDk, (1.13)
^) = а(к)п(к) + ^ = Q д(1) , ."(2),
где 7^-вектор напряжений в области контакта, л^-единичный
ft *
вектор внешней по отношению к нормали к поверхности П+,
и -проекция на нормаль и касательная составляющая
вектора напряжений 1^\
Если использовать явное представление поверхностей в виде (1.12), то
поверхность П можно определить так:
(1.14)
п*: -'-з = fx(xv х2, 0 (Xj, х2) е Q,
Q: (5 = fl(xv х2, t) - f2(xj, х2, t) = 0, о№ < 0.
Здесь (5--зазор между поверхностями IIj и П2. На несмоченных
участках поверхностей П \П+ зазор положительный, д > 0. Из
соотношений (1.13) или (1.14) следуют уравнения, неявно определяющие
границу области контакта,
о
¦(к)
0,
или
0 = 0, of*j = 0.
(1.15)
(1.16)
11
Однако при этом для внутренних точек необходима дополнительная проверка
неравенства < 0. Отметим также, что в общем случае граница дП^ может
состоять из нескольких замкнутых кривых и соответственно поверхность П+
может быть многосвязной.
Второй вопрос в постановке условий контакта, возникающий также и в
задачах с фиксированными границами,-задание типа контакта. Ограничимся
тем случаем, коща контакт происходит в условиях сухого трения с
коэффициентом трения к. Область контакта представим в виде объединения
двух поверхностей:
П = П U П ,
* а и
ПаСП,
1 > *2
<*) у(к)\
е DkoCDk*>
(1.17)
ПЦСПФ: (?" Щ е DkuCDk"
ще соответствует области проскальзывания, а Пц-участку
жесткого сцепления.
На поверхности должны выполняться условия непро-
никания сред по нормали к поверхности контакта, непрерывность нормальных
напряжений, а также закон трения Амонтона-Кулона [33, 79]:
('Я". "?>) п + (№ "(.2))
а
= ко?)
п
= 0, <&>
п.
пп
П
7<1)
пт
П.
= -т<2)
